¿Ida a 30 km/h y vuelta a 60 — velocidad media?

Casi todo el mundo se lanza a $\frac{30 + 60}{2} = 45$ — y la carretera tiene otros planes. Una velocidad solo cuenta mientras la llevas, y el tramo lento dura el doble que el rápido.

Nadie nos dio la distancia, así que elige una cómoda: digamos $60$ km por trayecto. La ida a $30$ km/h toma $\frac{60}{30} = 2$ horas; la vuelta a $60$ km/h toma $\frac{60}{60} = 1$ hora. Ahora usa la única definición que nunca miente:

$\text{velocidad media} = \frac{\text{distancia total}}{\text{tiempo total}} = \frac{120 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 40 \text{ km/h}$

Con cualquier distancia sale lo mismo — prueba con $30$ km por trayecto y mira cómo reaparece el $40$.

Lo que esconde

La palabra “media” promete en voz baja que los dos ingredientes cuentan por igual — y aquí no es así. Viviste a $30$ km/h durante dos de las tres horas, así que la media tiene que inclinarse hacia $30$. Promediar las dos velocidades ignora esos pesos por completo; el $45$ solo sería cierto si pasaras el mismo tiempo a cada velocidad, y las distancias iguales fuerzan tiempos desiguales.

La idea que se transfiere: una tasa es una fracción, y las medias de tasas salen de los totales — distancia total entre tiempo total, costo total entre kilos totales, puntos totales entre partidos totales. (Si te gustan las fórmulas, el atajo para distancias iguales es la media armónica, $\frac{2ab}{a+b} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 60}{90} = 40$ — pero total-entre-total es la versión que siempre funciona.)