Ida a 30 km/h, volta a 60 — qual é a velocidade média?

Quase todo mundo vai direto em $\frac{30 + 60}{2} = 45$ — e a estrada tem outros planos. Uma velocidade só conta enquanto você está nela, e o trecho lento dura o dobro do rápido.

Ninguém deu a distância, então escolha uma amiga: digamos $60$ km em cada sentido. A ida a $30$ km/h leva $\frac{60}{30} = 2$ horas; a volta a $60$ km/h leva $\frac{60}{60} = 1$ hora. Agora use a única definição que nunca mente:

$\text{velocidade média} = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}} = \frac{120 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 40 \text{ km/h}$

Qualquer distância dá o mesmo resultado — teste com $30$ km em cada sentido e veja o $40$ reaparecer.

O que isso esconde

A palavra “média” promete baixinho que os dois ingredientes contam por igual — e aqui não contam. Você viveu a $30$ km/h durante duas das três horas, então a média tem que pender para o $30$. Tirar a média das duas velocidades ignora esses pesos por completo; o $45$ só seria verdade se você passasse o mesmo tempo em cada velocidade, e distâncias iguais forçam tempos desiguais.

A ideia que se leva: uma taxa é uma fração, e médias de taxas nascem dos totais — distância total sobre tempo total, custo total sobre quilos totais, pontos totais sobre jogos totais. (Se você gosta de fórmulas, o atalho para distâncias iguais é a média harmônica, $\frac{2ab}{a+b} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 60}{90} = 40$ — mas total-sobre-total é a versão que funciona sempre.)