x + y = 10 y xy = 21. ¿Cuánto vale x² + y²?

Central

x + y = 10, x y = 21 x^{2} + y^{2} = ?

Transcripción

Dos números suman $10$ y multiplicados dan $21$ . ¿Cuánto vale $x^{2} + y^{2}$ ? La mayoría dice $100$ .

$x + y = 10 x y = 21$

$x^{2} + y^{2} = ?$

$x^{2} + y^{2} = 100$

No busques los números. Eleva la suma al cuadrado: $(x + y)^{2} = 1 0^{2} = 100$ .

$(x + y)^{2} = 1 0^{2} = 100$

Un cuadrado de lado $x + y$ . Corta cada lado donde termina $x$ y empieza $y$ .

[Un cuadrado de lado x + y, dividido en cuatro celdas: un cuadrado de x por x, uno de y por y, y dos tiras iguales de x por y entre ellos.]

[x + y]

[Dos cortes, uno a lo alto y otro a lo ancho, hechos donde termina x y empieza y.]

Cuatro piezas: $x^{2}$ , $y^{2}$ — y dos tiras, cada una $x \cdot y$ .

[x²]

[y²]

[xy]

Cada tira es $21$ . Dos tiras: $2 x y = 42$ .

$= 21$

$2 \cdot 21 = 42$

$x^{2} + y^{2} = 100 - 42 = 58$

Nunca encontraste $x$ ni $y$ . Una suma y un producto arman cualquier respuesta simétrica.

Las dos tiras que el cuadrado olvida · 1:38

El ojo quiere elevar al cuadrado los dos lados y cerrar el caso: $x + y = 10$ , entonces $x^2 + y^2 = 100$ . Pero elevar una suma al cuadrado no es elevar sus partes. $(x+y)^2$ significa $(x+y)(x+y)$ , y ese producto se abre en cuatro términos, no en dos:

$(x + y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Ahora mira lo que el problema ya te dio. Te dio el lado izquierdo — $(x+y)^2 = 10^2 = 100$ — y te dio el centro, $xy = 21$ , así que los dos términos de sobra valen $2 \times 21 = 42$ . Resta exactamente lo que el cuadrado agregó:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 100 - 42 = 58$

Fíjate en lo que nunca pasó: nunca hallaste $x$ ni $y$ . Aquí podrías haberlo hecho — “dos números con suma $10$ y producto $21$ ” es la cacería de M2, y saca $3$ y $7$ , que dan $9 + 49 = 58$ . Misma respuesta, camino más largo. Cambia el producto a $23$ y ese camino se cierra: no hay pareja bonita, $x$ y $y$ son $5 \pm \sqrt{2}$ , y la ruta de una línea sigue diciendo $100 - 46 = 54$ sin pestañear.

Lo que esconde

La trampa no es descuido — es una regla real disparándose donde no toca. La multiplicación sí se distribuye sobre la suma, así que “elevo al cuadrado cada parte” se siente como el mismo movimiento. No lo es: elevar al cuadrado es un producto de dos paréntesis, y cada término del primero se encuentra con cada término del segundo. Las dos celdas del centro son toda la diferencia entre $100$ y $58$ , y son invisibles solo porque el atajo nunca las dibuja.

La idea que se transfiere es más grande que la identidad. $x^2 + y^2$ es simétrica — intercambia $x$ y $y$ y nada cambia — y toda combinación simétrica de dos incógnitas se puede construir con apenas su suma y su producto. Así que cuando un problema te entrega $x + y$ y $xy$ y pide algo simétrico, no te falta información: eso es la caja de herramientas completa. No despejes $x$ ni $y$ ; arma la respuesta con los dos números que te dieron.

Mira existir a los rectángulos que faltan. Carga la opción $(x+4)(x+4)$ — un cuadrado, la misma forma que $(x+y)^2$ — y cuenta las celdas: un $x^2$ , una constante y dos franjas centrales que el atajo de “elevar cada parte” tira a la basura.

El cuadrado que olvida dos celdas