¿Cuántos números cumplen b³ = b?

El impulso es dividir ambos lados entre $b$ — y ese impulso te cuesta una solución en silencio. Al dividir, $b^3 = b$ se reduce a $b^2 = 1$, que da $b = \pm 1$: dos respuestas. Pero dividir entre $b$ solo tiene sentido cuando $b \ne 0$, y $b = 0$ resuelve la ecuación original sin despeinarse, porque $0^3 = 0$.

Conserva todas las soluciones pasando todo a un lado en vez de dividir, y luego factoriza:

$b^3 - b = 0 \;\Rightarrow\; b(b^2 - 1) = 0 \;\Rightarrow\; b(b-1)(b+1) = 0$

Un producto vale cero exactamente cuando uno de sus factores es cero, así que $b = 0$, $b = 1$ o $b = -1$ — tres soluciones, una en el centro y una a cada lado.

Lo que esconde

Dividir ambos lados entre una variable parece juego limpio — se ve como “deshacer” una multiplicación, el mismo movimiento de equilibrio que resuelve una ecuación normal. El detalle es que ese movimiento solo es legal cuando el divisor no es cero, y $b = 0$ es justo la raíz que tira a la basura. No simplificaste la ecuación; borraste una parte de ella, y el borrado es invisible porque la respuesta que sobrevive sigue pareciendo razonable.

La idea que se transfiere: para resolver, pasa todo a cero y factoriza — y nunca dividas entre algo que podría ser cero. Factorizar conserva cada raíz porque no descarta nada. Que un producto sea cero es el motor entero, y cada factor te entrega una respuesta.