Expresiones cuadráticas y factorización

La reversa se encuentra con su primera cuesta

M1 terminó con una promesa: desarrollar tiene reversa. Allá la usaste para deshacer un monomio — ver el $2x$ compartido en $6x^2 + 10x$ y sacarlo al frente. Ahora mira $x^2 + 5x + 6$. Búscale un factor común: los coeficientes $1$, $5$, $6$ no comparten nada, y el $6$ no trae $x$. El truco del factor común sale con las manos vacías — y sin embargo esta expresión es un producto, $(x+2)(x+3)$, con su traje desarrollado puesto. Al SAT le encanta este disfraz, y toda la historia de las ecuaciones cuadráticas (esa es M3, una unidad más adelante) depende de saber quitárselo. Entonces: dado el hijo, ¿cómo encuentras a los padres?

Interroga al producto

Sabes desde M1 exactamente qué hace desarrollar dos paréntesis. Córrelo sobre $(x+m)(x+n)$ con las letras puestas:

Léelo como detective. Sean quienes sean $m$ y $n$, el traje desarrollado los delata: el término constante es su producto, y el coeficiente del medio es su suma. Los dos números no desaparecieron — están sentados a plena vista, codificados. Factorizar $x^2 + 5x + 6$ es una cacería con dos pistas:

Mira primero la cacería en la pizarra — con un par equivocado tachado y todo:

Ahora caza tú — el deslizador recorre cada par de $c$, y tú miras la aguja de la suma:

Predice antes de deslizar: carga el atajo $x^2 - 8x + 12$. El producto es $12$ positivo, la suma es $-8$ negativa — ¿el par debería ser dos positivos, dos negativos, o uno de cada uno? Decide, luego recorre y mira dónde cae la aguja. Después carga $x^2 + x - 12$: el producto se volvió negativo, y ahora el par tiene que montarse a ambos lados del cero — siente cuánto se encogen las sumas cuando los dos números pelean en vez de cooperar. Esa es la brújula de los signos, y tus manos acaban de aprenderla: $c$ positivo → los dos números llevan el signo de $b$; $c$ negativo → signos opuestos, y el número más grande se queda con el de $b$.

Una más, importante justo porque fracasa: carga $x^2 + 3x + 1$ y recorre la pista entera. Nada multiplica a $1$ y suma $3$. No fallaste tú — ese trinomio genuinamente no se factoriza con enteros, y en el examen, reconocer un callejón sin salida rápido vale tanto como factorizar. (M3 te da la herramienta que abre incluso esos.)

Cuando el coeficiente principal no es 1: manda la búsqueda a a·c

$2x^2 + 7x + 3$ rompe el patrón de arriba — el $2$ del frente contamina la lectura simple de suma y producto. El arreglo es una parada extra: corre la misma búsqueda sobre $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$, sumando todavía $7$. Son $1$ y $6$. No caen directo en los paréntesis; en cambio parten el término del medio, y el instinto de agrupar de M1 termina el trabajo:

$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (2x+1)(x+3)$

Lee el tercer paso dos veces — las dos mitades te entregaron el mismo paréntesis, $(2x+1)$. No es suerte; es la garantía que la búsqueda te compró. Si tus dos grupos alguna vez no coinciden, el par está mal (o se escapó un signo) — el método se audita solo.

El trinomio al que le falta un término

Factoriza $x^2 - 9$. No busques una regla nueva — corre la cacería que ya tienes: dos números que multiplicados den $-9$ y sumados den… bueno, no hay término con $x$, así que suman $0$. Eso obliga al par $3$ y $-3$:

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

Desarrolla de vuelta y mira por qué el término del medio se esfumó: $-3x + 3x = 0$. El patrón merece nombre propio — una diferencia de cuadrados, $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ — porque el examen lo disfraza con coeficientes: $4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)$, dos piezas que son cuadrados perfectos, un menos entre ellas. Pero no es un truco aparte. Es la misma cacería, en el caso especial donde el par está obligado a ser gemelos con signo $\pm$.

Su gemelo malvado es la trampa: $x^2 + 9$, una suma de cuadrados, no se factoriza — inténtalo con la cacería: multiplicar a $+9$ y sumar $0$ es imposible, porque dos números con producto positivo viven del mismo lado del cero y no pueden cancelarse. Si te descubres escribiendo $(x+3)^2$ para cualquiera de los dos, desarróllalo: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Ahí adentro hay un $6x$ que ni $x^2 - 9$ ni $x^2 + 9$ tuvieron jamás. La prueba de equivalencia de M1 lo resuelve en una línea.

Completar el cuadrado — el nombre es literal

Algunas cuadráticas se ríen de toda cacería ($x^2 + 6x + 2$: multiplicar a $2$, sumar $6$ — nada). Para esas, el álgebra tiene un movimiento tan geométrico que su nombre es un manual de construcción. Toma $x^2 + 6x$ y dibújalo: un cuadrado de $x$ por $x$, más una tira de ancho $6$ y alto $x$ parada al lado. Ahora corta la tira a la mitad — dos placas de $3x$ — y envuelve una alrededor de la esquina. Lo que construiste es casi un cuadrado más grande, de $(x+3)$ por lado… excepto que a la esquina le falta un pedazo. Un hueco de $3 \times 3$. Exactamente $9$.

Mira cómo se construye el cuadrado — y cómo la trampa clásica queda tachada:

Arrastra el pliegue despacio y mira el hueco abrirse. Ese hueco es el método completo: las piezas que TIENES ($x^2 + 6x$) son un cuadrado completado menos su parche de esquina:

$x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$

Así que $x^2 + 6x + 2$ — el que la cacería no pudo tocar — se rinde ante la aritmética: es $(x+3)^2 - 9 + 2 = (x+3)^2 - 7$. La receta que tus manos acaban de aprender: la mitad de $b$ (por eso la tira se parte — solo las mitades envuelven parejo), elévala al cuadrado (el parche de la esquina), súmala y réstala (parcha el hueco, paga el parche).

Predice antes de arrastrar: carga el atajo $x^2 + 10x + 25$. La tira mide $10$ de ancho — ¿cuánto mide cada mitad envuelta, y qué tan grande será el hueco de la esquina? Ahora arrastra — y nota que el $+25$ que trajiste paga el hueco exacto. Eso significa “trinomio cuadrado perfecto”: $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$, sin sobras. Luego prueba $x^2 + 5x + 3$: una tira impar también se pliega, solo que las mitades miden $\tfrac{5}{2}$ — las fracciones son el método funcionando, no el método rompiéndose.

Una advertencia, porque aquí es donde mueren los puntos: el signo de la mitad viaja con ella. Para $x^2 - 8x + 5$, la mitad de $-8$ es $-4$, así que el cuadrado es $(x-4)^2$ — y el parche es $(-4)^2 = 16$, positivo. Eleva la mitad al cuadrado después de conservarle el signo, y nunca olvides el “réstala” de suma-y-resta: $(x-4)^2$ solo, reclama un $+16$ que nadie te dio.

La única cosa para recordar

Cada movimiento de factorización de esta unidad es la fórmula de desarrollo leída al revés. El trinomio reporta la suma y el producto del par — cázalo. ¿No hay par? Busca dos cuadrados y un menos. ¿Todavía nada? Completa el cuadrado: la mitad de $b$, al cuadrado, sumada y restada — y si olvidas por qué, pliega la tira y mira el hueco.

Los tres patrones

La brújula de signos para la búsqueda: $c > 0$ → los dos números llevan el signo de $b$. $c < 0$ → signos opuestos, el más grande toma el de $b$. Ningún par funciona → no se factoriza con enteros.

Completar el cuadrado ($x^2 + bx + c$): la mitad de $b$ (conserva el signo) → elévala al cuadrado → súmala Y réstala → arma: $\left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \tfrac{b^2}{4}\right)$.

Trinomio cuadrado perfecto: $x^2 \pm 2vx + v^2 = (x \pm v)^2$ — la constante es un cuadrado Y el medio es el doble de su raíz. Las dos comprobaciones, siempre.