x + y = 10 e xy = 21. Quanto vale x² + y²?

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x + y = 10, x y = 21 x^{2} + y^{2} = ?

O olho quer elevar os dois lados ao quadrado e encerrar: $x + y = 10$ , logo $x^2 + y^2 = 100$ . Mas elevar uma soma ao quadrado não é elevar as partes dela. $(x+y)^2$ quer dizer $(x+y)(x+y)$ , e esse produto se abre em quatro termos, não em dois:

$(x + y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Agora olhe o que o problema já te deu. Deu o lado esquerdo — $(x+y)^2 = 10^2 = 100$ — e deu o meio, $xy = 21$ , então os dois termos que sobram valem $2 \times 21 = 42$ . Subtraia exatamente o que o quadrado acrescentou:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 100 - 42 = 58$

Repare no que nunca aconteceu: você nunca achou $x$ nem $y$ . Aqui daria para achar — “dois números com soma $10$ e produto $21$ ” é a caçada do M2, e ela devolve $3$ e $7$ , dando $9 + 49 = 58$ . Mesma resposta, caminho mais longo. Troque o produto para $23$ e esse caminho fecha: não existe par bonito, $x$ e $y$ são $5 \pm \sqrt{2}$ , e a rota de uma linha continua dizendo $100 - 46 = 54$ sem piscar.

O que isso esconde

A armadilha não é descuido — é uma regra de verdade disparando fora de hora. A multiplicação de fato se distribui sobre a soma, então “elevo cada parte ao quadrado” parece o mesmo movimento. Não é: elevar ao quadrado é um produto de dois parênteses, e cada termo do primeiro encontra cada termo do segundo. As duas células do meio são toda a diferença entre $100$ e $58$ , e só são invisíveis porque o atalho nunca as desenha.

A ideia que se leva é maior do que a identidade. $x^2 + y^2$ é simétrica — troque $x$ por $y$ e nada muda — e toda combinação simétrica de duas incógnitas pode ser montada só com a soma e o produto delas. Então, quando um problema te entrega $x + y$ e $xy$ e pede algo simétrico, não está faltando informação: aquilo é a caixa de ferramentas inteira. Não isole $x$ nem $y$ ; monte a resposta com os dois números que você recebeu.

Veja os retângulos que faltam existirem. Carregue a opção $(x+4)(x+4)$ — um quadrado, a mesma forma de $(x+y)^2$ — e conte as células: um $x^2$ , uma constante e duas faixas centrais que o atalho de “elevar cada parte” joga fora.

O quadrado que esquece duas células