Frações

Por que as frações existem

Três amigos dividem duas barras de chocolate em partes iguais. Quanto cada um recebe? Nenhum número inteiro consegue responder — a resposta mora entre $0$ e $1$ barra. As frações são os números inventados exatamente para esse vão: $\frac{2}{3}$ de barra para cada um. Sempre que algo é dividido, medido ou repartido — uma conta, uma receita, um tanque de gasolina — os inteiros acabam, e as frações assumem.

Leia uma fração como uma medida

Uma fração é um número para uma parte de um todo, e suas duas metades têm ofícios diferentes. O número de baixo — o denominador — dá nome ao tamanho do pedaço com que você trabalha: corte o todo em $4$ partes iguais e cada parte é “um quarto”. O de cima — o numerador — apenas os conta. Então $\frac{3}{4}$ se lê como uma medida: três quartos, do mesmo jeito que “3 polegadas” são três unidades chamadas polegada.

Essa leitura trabalha de verdade. Ela diz que uma fração própria ($\frac{3}{4}$) é menor que um inteiro, enquanto uma imprópria ($\frac{7}{3}$ — sete terços, mais de dois inteiros) não é. E vai explicar, daqui a pouco, por que somar frações tem uma regra que a multiplicação dispensa: só dá para contar juntos pedaços do mesmo tamanho.

Frações equivalentes — a mesma quantidade, cortada diferente

Corte ao meio cada pedaço de uma barra meio pintada e você obtém $\frac{2}{4}$: mais pedaços, pedaços menores, a mesma quantidade pintada. Multiplique numerador e denominador pelo mesmo número e o valor não sai do lugar:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}.$

O caminho inverso é simplificar: divida em cima e embaixo pelo máximo divisor comum — o MDC que você construiu em F2 — para usar os pedaços maiores e em menor quantidade:

$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}.$

Qual fração é maior?

Aqui é onde o instinto dos números inteiros trai você pela primeira vez: $\frac{1}{8}$ parece maior que $\frac{1}{5}$, porque $8 > 5$ e anos de aritmética treinaram você para que algarismos maiores signifiquem números maiores. Mas o denominador conta cortes, e mais cortes fazem pedaços menores — um oitavo de pizza é a fatia triste. O instinto não está errado, está mirando no número errado: ele funciona nos numeradores, depois que os pedaços coincidem.

Então, para comparar com justiça, faça os pedaços coincidirem. Para $\frac{2}{3}$ contra $\frac{3}{5}$, reescreva as duas em quinze avos: $\frac{10}{15}$ contra $\frac{9}{15}$ — agora os numeradores decidem, e $\frac{2}{3}$ vence. (Multiplicar em cruz — $2 \times 5 = 10$ contra $3 \times 3 = 9$ — é esse mesmo renomear com a escrita pulada.)

Somar: contar pedaços que combinam

Some $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. O movimento tentador — somar em cima, somar embaixo, obter $\frac{2}{5}$ — parece certo por um bom motivo: é exatamente assim que a multiplicação funciona, e “faça a operação em tudo o que vê” costuma servir bem. Mas veja-o quebrar no caso mais simples: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ daria $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ — despeje meio copo em meio copo e termine com… meio copo? Impossível. O movimento falha porque meios e terços são unidades diferentes: “1 meio + 1 terço = 2 alguma-coisa” não tem unidade para contar, assim como 1 polegada + 1 milha não são 2 de coisa nenhuma.

O conserto é o truque de renomear que você acabou de aprender — reescreva as duas numa unidade que compartilhem:

Essa é a regra inteira: primeiro denominador comum, depois some os numeradores — porque o denominador é uma unidade, e só unidades iguais se contam juntas.

O widget abre com $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ — preveja o denominador comum antes de olhar (qual é o MMC de $4$ e $6$?). Depois coloque $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ e confirme que a resposta de “somar em cima e embaixo”, $\frac{2}{4}$, não é o que as barras mostram.

Multiplicar: ”×” significa “de”

Uma receita pede $\frac{3}{4}$ de xícara de farinha e você vai fazer meia receita. Você precisa da metade de três quartos — e esse de é o que a multiplicação significa, um fio que começou com os inteiros ($3 \times 4$ são três grupos de quatro). Imagine a xícara medidora: pegue os $\frac{3}{4}$, corte ao meio, fique com uma camada: $\frac{3}{8}$. Numeradores multiplicados, denominadores multiplicados — e sem denominador comum, porque você não está contando duas quantidades numa unidade compartilhada; está refatiando uma única quantidade.

A grade mostra $\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}$ como uma sobreposição de pinturas. Antes de olhar: a resposta será maior ou menor que $\frac{9}{10}$? Menor — pegar dois terços de algo deixa menos do que havia. “Multiplicar aumenta” é mais um pedaço de instinto de números inteiros que as frações aposentam.

Dividir: quantas cabem?

$3 \div \frac{1}{2}$ pergunta: quantas meias xícaras cabem em 3 xícaras? Seis — dividir por um número pequeno dá uma resposta grande. Essa contagem de encaixes também é o motivo de o famoso repete · troca · inverte funcionar: meios cabem nas coisas exatamente o dobro de vezes que inteiros, então dividir por $\frac{1}{2}$ é multiplicar por $2$ — e, em geral, dividir por $\frac{2}{5}$ é multiplicar por $\frac{5}{2}$. A inversão não é mágica; é a contagem de encaixes convertida numa única multiplicação. Mude o widget acima para $\div$ e teste: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$ — maior que $\frac{3}{4}$, exatamente porque o divisor é menor que $1$.

Misto e impróprio são o mesmo número

$\frac{7}{3}$ e $2\frac{1}{3}$ são um só valor com duas roupas: a forma imprópria é a mais fácil de calcular, a mista a mais fácil de ler (“um pouco mais de dois”). Converta livremente.

Preveja antes de digitar: como $\frac{7}{3}$ vira número misto? (Quantos $3$ inteiros cabem em $7$, e o que sobra?) Depois vá no sentido contrário com $2\frac{3}{4}$.

A única coisa para lembrar

O denominador é uma unidade e o numerador a conta. Todo o resto decorre daí: renomear uma fração troca a unidade sem mudar a quantidade; somar exige unidades iguais; multiplicar significa “de” e só refatia; dividir conta quantas vezes uma quantidade cabe na outra.

As quatro regras

Uma soma resolvida, passo a passo