Simplifique 84! / (82! + 83!)

Os fatoriais assustam — só $84!$ tem 127 algarismos — então o jogo todo é nunca calcular nenhum. A chave é que $82!$ está escondido dentro de cada termo.

Coloque-o em evidência no denominador. Como $83! = 83 \times 82!$,

$82! + 83! = 82!\,(1 + 83) = 82! \times 84$

Agora abra o numerador só o bastante para enxergar a mesma peça: $84! = 84 \times 83 \times 82!$. Tudo que era gigantesco cancela:

$\frac{84!}{82! + 83!} = \frac{84 \times 83 \times 82!}{84 \times 82!} = 83$

Um número de 127 algarismos dividido por outro quase tão imenso, e a resposta é um $83$ arredondadinho.

O que isso esconde

Números grandes parecem exigir contas grandes, então o impulso é pegar a calculadora — que estoura — ou olhar $\tfrac{84!}{83!} = 84$ e dar por encerrado, esquecendo o $82!$ a mais que espera embaixo. Mas o denominador é uma soma, e uma soma precisa ser fatorada antes de uma única coisa cancelar.

A ideia que se leva é a humilde por trás de $ab + ac = a(b + c)$: quando há termos somados, coloque em evidência o que eles compartilham antes de avaliar. Aqui $82!$ só faz o papel de $a$. Esse único movimento transforma um problema aritmético impossível num cancelamento de uma linha — o mesmo motivo pelo qual fatorar vale ouro na álgebra.