Expressões equivalentes

Você já desenvolve produtos de cabeça

Calcule $13 \times 12$ sem papel. A maioria faz assim: treze dozes são treze dezes mais treze dois — $130 + 26 = 156$. Você partiu um fator, multiplicou cada pedaço e somou. Escreva a partição e ela fica com uma cara suspeita de álgebra:

$13 \times 12 = (10 + 3)(10 + 2) = 100 + 20 + 30 + 6 = 156$

A quantidade nunca mudou — $156$ jamais deixou de ser $156$. Você só trocou a roupa dela: de produto de dois fatores para soma de quatro pedaços. Esta unidade — a porta de entrada da Matemática avançada — é esse único movimento, agora com $x$ no meio. Duas expressões são equivalentes quando são o mesmo número com qualquer roupa: valha o que valer $x$, as duas saem iguais. Não “iguais no valor que você testou” — iguais em todos.

Os ingredientes já são seus. F8 deu a propriedade distributiva e os termos semelhantes; F7 ensinou que $x \cdot x = x^2$ (os expoentes se somam); F2 deu o máximo divisor comum. A Matemática avançada começa apontando essas três ferramentas umas para as outras.

O retângulo que multiplica

Troque o $10$ por um $x$: quanto é $(x+3)(x+2)$? Desenhe como um retângulo — largura $x + 3$, altura $x + 2$ — e parta cada lado no sinal de mais. O retângulo se quebra em quatro células, e a área total pode ser lida de dois jeitos:

Essa é a regra inteira, e agora ela cabe numa linha — para qualquer par de somas:

Cada termo do primeiro parêntese multiplica cada termo do segundo: quatro produtos, sem exceções. (Talvez você conheça isso como FOIL, a sigla em inglês. Vale como lembrete, mas o retângulo é a regra de verdade: ele sobrevive mesmo quando um parêntese traz três termos e o truque fica sem letras.)

Veja o retângulo se montar sozinho e virar uma soma:

Agora monte retângulos você mesmo — e arraste o $x$:

Preveja antes de mexer: em $(x+5)(x-2)$, qual célula é negativa, e que termo do meio as duas células com $x$ formam? Digite e confira. Depois arraste o controle de $x$ devagar e olhe as duas leituras embaixo do retângulo — largura vezes altura, e soma das quatro células. Elas se movem juntas, sempre. Isso é ser equivalente: não existe um $x$ que as separe.

O quadrado que engana quase todo mundo

Teste o atalho $(x+4)^2$. O olho quer $(x+4)^2 = x^2 + 16$ — eleva o primeiro ao quadrado, eleva o segundo. Parece certo porque a multiplicação realmente se distribui sobre a soma — por que o quadrado não se distribuiria? Mas elevar ao quadrado não é um golpe só — é um produto de dois parênteses, $(x+4)(x+4)$, e o retângulo mostra duas células de $4x$ que o atalho nunca conta:

$(x+4)^2 = x^2 + 4x + 4x + 16 = x^2 + 8x + 16$

Quando uma regra soa plausível, teste um número: com $x = 1$, $(1+4)^2 = 25$, mas $1 + 16 = 17$. Um desacordo e a roupa é falsa. Esse teste — dê o mesmo $x$ às duas expressões e compare — merece a própria bancada:

Carregue o atalho $(x+3)^2$ vs $x^2 + 9$. A tabela combina em $x = 0$ — e o laboratório ainda assim diz não, e mostra o valor que quebra a ilusão. Combinar em alguns pontos não prova nada; um único desacordo é fatal. Depois tente montar o seu próprio par de gêmeas perfeitas.

Fatorar: a mesma rua, andada de volta

Desenvolver transforma $2x(3x+5)$ em $6x^2 + 10x$. Fatorar faz o caminho de volta: dado $6x^2 + 10x$, de que produto ele veio? Abra cada termo — $6x^2 = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ e $10x = 2 \cdot 5 \cdot x$ — e procure o que eles compartilham: um $2$ e um $x$. Esse conteúdo compartilhado é o máximo divisor comum de F2, agora com $x$ dentro. Coloque-o em evidência e escreva dentro o que sobra de cada termo:

$6x^2 + 10x = 2x(3x + 5)$

Veja essa caçada na lousa — cada termo aberto, a parte compartilhada achada e puxada para a frente:

Confira pelo caminho honesto: distribua o $2x$ de volta e você aterrissa exatamente onde começou. A forma fatorada não é um fato novo sobre a expressão — é a mesma expressão, vestida para outro trabalho. (Que trabalhos? Essa é a história de M2: a forma fatorada é a que abre as equações quadráticas.) Fatore por completo: $x(6x + 10)$ tirou um $x$ mas deixou um $2$ escondido dentro — o fator comum quer os dois.

Prove uma para você mesmo no laboratório acima: digite $6x^2 + 10x$ contra a sua resposta fatorada e veja as colunas combinarem — em todo lugar.

Somar e subtrair: termos semelhantes, agora com graus

Polinômios se somam como as expressões de F8 — termos semelhantes se juntam, e agora “semelhantes” significa a mesma potência de $x$: os $x^2$ moram juntos, os $x$ moram juntos, as constantes moram juntas. Somar só tira os parênteses. Subtrair é onde os pontos morrem:

$(3x^2 - 2x + 5) - (x^2 + 4x - 3) = 3x^2 - 2x + 5 \; {\color{#8f4a24}- x^2 - 4x + 3}$

O menos é um $-1$ multiplicando o parêntese inteiro, então ele troca todos os sinais de dentro — não só o primeiro. Parece “subtraia a primeira coisa” porque é assim que a frase soa em voz alta; a álgebra discorda, e uma conferida rápida com $x = 0$ entrega (só as constantes: $5 - (-3)$ é $8$, não $2$). Dali em diante é agrupar: $2x^2 - 6x + 8$.

A única coisa para lembrar

A roupa de uma expressão pode mudar; o valor dela, nunca. Desenvolver (cada termo vezes cada termo) e colocar em evidência são a mesma rua andada em sentidos opostos, e o modelo de área desenha o mapa. Quando duas expressões dizem ser equivalentes — ou quando a sua própria resposta pode estar errada — dê o mesmo $x$ às duas: um desacordo resolve.

Os dois movimentos

Encontrar o fator comum dos termos: o maior número que divide todos os coeficientes × a menor potência de $x$ presente em todos os termos. $12x^3 - 8x^2 \Rightarrow$ fator comum $= 4x^2 \Rightarrow 4x^2(3x - 2)$.

Somar / subtrair polinômios: reduza os termos de mesmo grau. Um menos na frente de um parêntese multiplica primeiro tudo de dentro por $-1$.

O teste de equivalência: duas expressões são equivalentes só se combinam para todo $x$. Para provar que uma afirmação é falsa, basta um valor em desacordo. (Para provar que é verdadeira, faça a álgebra — bater num punhado de pontos não é prova.)