Expressões quadráticas e fatoração

A ré encontra a primeira subida de verdade

M1 terminou com uma promessa: desenvolver tem marcha a ré. Lá você usou a ré para desfazer um monômio — enxergar o $2x$ compartilhado em $6x^2 + 10x$ e colocá-lo em evidência. Agora olhe para $x^2 + 5x + 6$. Procure um fator comum nos termos: os coeficientes $1$, $5$, $6$ não compartilham nada, e o $6$ não carrega $x$. O golpe da evidência volta de mãos vazias — e mesmo assim essa expressão é um produto, $(x+2)(x+3)$, usando a roupa desenvolvida. O SAT adora esse disfarce, e a história inteira das equações do segundo grau (essa é o M3, uma unidade adiante) depende de saber tirá-lo. Então: dado o filho, como você encontra os pais?

Interrogue o produto

Você sabe desde M1 exatamente o que desenvolver dois parênteses faz. Rode em $(x+m)(x+n)$ com as letras no lugar:

Leia como detetive. Sejam quais forem $m$ e $n$, a roupa desenvolvida entrega os dois: o termo constante é o produto deles, e o coeficiente do meio é a soma. Os dois números não sumiram — estão sentados à vista de todos, codificados. Fatorar $x^2 + 5x + 6$ é uma caçada com duas pistas:

Veja a caçada acontecer na lousa primeiro — com um par errado riscado e tudo:

Agora cace você — o controle percorre cada par de $c$, e você olha o ponteiro da soma:

Preveja antes de deslizar: carregue o atalho $x^2 - 8x + 12$. O produto é $12$ positivo, a soma é $-8$ negativa — o par deve ser dois positivos, dois negativos, ou um de cada? Decida, depois percorra e veja onde o ponteiro cai. Em seguida carregue $x^2 + x - 12$: o produto ficou negativo, e agora o par precisa montar dos dois lados do zero — sinta como as somas encolhem quando os dois números brigam em vez de cooperar. Essa é a bússola dos sinais, e as suas mãos acabaram de aprendê-la: $c$ positivo → os dois números vestem o sinal de $b$; $c$ negativo → sinais opostos, e o número maior fica com o de $b$.

Mais uma, importante justamente porque fracassa: carregue $x^2 + 3x + 1$ e percorra a trilha inteira. Nada multiplica para $1$ e soma $3$. Não foi você que falhou — esse trinômio genuinamente não fatora com inteiros, e na prova, reconhecer um beco sem saída rápido vale tanto quanto fatorar. (O M3 dá a ferramenta que abre até esses.)

Quando o coeficiente principal não é 1: mande a busca para a·c

$2x^2 + 7x + 3$ quebra o padrão de cima — o $2$ da frente contamina a leitura simples de soma e produto. O conserto é uma parada a mais: rode a mesma busca sobre $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$, ainda somando $7$. São $1$ e $6$. Eles não caem direto nos parênteses; em vez disso separam o termo do meio, e o instinto de agrupar de M1 termina o serviço:

$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (2x+1)(x+3)$

Leia o terceiro passo duas vezes — as duas metades entregaram o mesmo parêntese, $(2x+1)$. Não é sorte; é a garantia que a busca comprou para você. Se os seus dois grupos algum dia discordarem, o par está errado (ou um sinal escapou) — o método se audita sozinho.

O trinômio sem um termo

Fatore $x^2 - 9$. Não procure regra nova — rode a caçada que você já tem: dois números que multiplicados deem $-9$ e somados deem… bom, não há termo com $x$, então somam $0$. Isso obriga o par $3$ e $-3$:

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

Desenvolva de volta e veja por que o termo do meio sumiu: $-3x + 3x = 0$. O padrão merece nome próprio — uma diferença de quadrados, $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ — porque a prova o veste com coeficientes: $4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)$, duas peças que são quadrados perfeitos, um menos entre elas. Mas não é um truque à parte. É a mesma caçada, no caso especial em que o par é obrigado a ser gêmeos de sinal $\pm$.

O gêmeo do mal é a armadilha: $x^2 + 9$, uma soma de quadrados, não fatora — tente a caçada: multiplicar para $+9$ e somar $0$ é impossível, porque dois números com produto positivo moram do mesmo lado do zero e não conseguem se cancelar. Se você se pegar escrevendo $(x+3)^2$ para qualquer um dos dois, desenvolva: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Tem um $6x$ ali dentro que nem $x^2 - 9$ nem $x^2 + 9$ jamais tiveram. O teste de equivalência de M1 resolve numa linha.

Completar o quadrado — o nome é literal

Algumas quadráticas riem de qualquer caçada ($x^2 + 6x + 2$: multiplicar para $2$, somar $6$ — nada). Para essas, a álgebra tem um movimento tão geométrico que o nome é um manual de construção. Pegue $x^2 + 6x$ e desenhe: um quadrado de $x$ por $x$, mais uma tira de largura $6$ e altura $x$ parada ao lado. Agora corte a tira ao meio — duas placas de $3x$ — e enrole uma em volta do canto. O que você construiu é quase um quadrado maior, de $(x+3)$ por lado… só que falta um pedaço no canto. Um buraco de $3 \times 3$. Exatamente $9$.

Veja o quadrado ser construído — e a armadilha clássica ser riscada:

Arraste a dobra devagar e veja o buraco se abrir. Aquele buraco é o método inteiro: as peças que você TEM ($x^2 + 6x$) são um quadrado completado menos o remendo do canto:

$x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$

Então $x^2 + 6x + 2$ — o que a caçada não conseguiu tocar — se rende à aritmética: é $(x+3)^2 - 9 + 2 = (x+3)^2 - 7$. A receita que as suas mãos acabaram de aprender: metade de $b$ (por isso a tira se parte — só metades enrolam por igual), eleve ao quadrado (o remendo do canto), some e subtraia (remende o buraco, pague pelo remendo).

Preveja antes de arrastar: carregue o atalho $x^2 + 10x + 25$. A tira tem $10$ de largura — quanto mede cada metade enrolada, e de que tamanho será o buraco do canto? Agora arraste — e repare que o $+25$ que você trouxe paga o buraco na conta exata. É isso que “trinômio quadrado perfeito” quer dizer: $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$, sem sobras. Depois experimente $x^2 + 5x + 3$: uma tira ímpar também dobra, só que as metades medem $\tfrac{5}{2}$ — frações são o método funcionando, não o método quebrando.

Um aviso, porque é aqui que os pontos morrem: o sinal da metade viaja junto. Para $x^2 - 8x + 5$, a metade de $-8$ é $-4$, então o quadrado é $(x-4)^2$ — e o remendo é $(-4)^2 = 16$, positivo. Eleve a metade ao quadrado depois de manter o sinal, e nunca esqueça o “subtraia” do soma-e-subtrai: $(x-4)^2$ sozinho reivindica um $+16$ que ninguém te deu.

A única coisa para lembrar

Cada movimento de fatoração desta unidade é a fórmula de desenvolvimento lida de trás para frente. O trinômio informa a soma e o produto do par — cace. Sem par? Procure dois quadrados e um menos. Ainda nada? Complete o quadrado: metade de $b$, ao quadrado, somada e subtraída — e se esquecer o porquê, dobre a tira e olhe o buraco.

Os três padrões

A bússola de sinais para a busca: $c > 0$ → os dois números vestem o sinal de $b$. $c < 0$ → sinais opostos, o maior fica com o de $b$. Nenhum par funciona → não fatora com inteiros.

Completar o quadrado ($x^2 + bx + c$): metade de $b$ (mantenha o sinal) → eleve ao quadrado → some E subtraia → feche: $\left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \tfrac{b^2}{4}\right)$.

Trinômio quadrado perfeito: $x^2 \pm 2vx + v^2 = (x \pm v)^2$ — a constante é um quadrado E o meio é o dobro da raiz dela. As duas conferências, sempre.