Factores, múltiplos y primos

Dos preguntas que ya te haces

Las salchichas vienen en paquetes de $10$ y los panes en paquetes de $8$. ¿Cuántos paquetes de cada uno compras para que no sobre nada? Otro día, otro problema: tienes $24$ galletas y $36$ caramelos para repartir en bolsas de regalo idénticas sin que quede nada suelto — ¿cuál es el mayor número de bolsas que puedes armar? Las dos preguntas van de ver por dentro los números enteros: cuándo se parten en partes iguales, y cuándo dos patrones de conteo vuelven a coincidir. En F1 desarmaste una expresión operación por operación; esta unidad desarma un solo número en sus piezas multiplicativas.

Un mismo hecho, visto de dos maneras

Todo nace de un solo hecho de multiplicación. Toma $3 \times 4 = 12$. Leído desde un extremo: $3$ y $4$ son factores de $12$ — lo dividen exactamente, sin resto. Leído desde el otro: $12$ es un múltiplo de $3$ y de $4$ — es una parada en sus listas de conteo a saltos. El mismo hecho, dos direcciones de mirada. Las preguntas de factores miran hacia adentro de un número; las de múltiplos miran hacia arriba y hacia afuera. Mantener recta esa brújula es la mitad de esta unidad.

Un par de factores tiene una forma que se puede ver: es una manera de acomodar esa cantidad de puntos en un rectángulo completo — sin huecos, sin sobras.

Antes de mirar con calma, predice: ¿cuántos rectángulos puede formar $12$? (Cuenta $1\times12$, $2\times6$, $3\times4$.) Ahora escribe $7$ — no existe nada más que la línea sencilla. Luego $36$: tiene un rectángulo que ningún otro tenía, el cuadrado perfecto $6 \times 6$ — y por eso $36$ tiene una cantidad impar de factores mientras casi todos los números la tienen par (los factores vienen en parejas, salvo cuando uno se empareja consigo mismo).

Los múltiplos son la dirección contraria: empieza en el número y sigue sumándolo, para siempre.

Ilumina el $3$ y observa las franjas. Después prueba el $4$, memoriza el patrón, y cambia al $6$: las casillas encendidas las dos veces — $12$, $24$, $36$ — son los múltiplos comunes de $4$ y $6$, y el primero, el $12$, va a importar en un minuto.

Los primos: los átomos de la multiplicación

Algunos números se niegan a formar cualquier rectángulo que no sea la línea sencilla. Sus únicos factores son $1$ y ellos mismos: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ Son los primos, y juegan el papel que juegan los átomos en la química: todo número entero desde $2$ se construye multiplicando primos, y — esto es lo notable — de exactamente una manera. $60$ es $2 \times 2 \times 3 \times 5$ sin importar cómo encuentres las piezas. Un número con más de un rectángulo es compuesto: todavía se puede romper.

Dos casos especiales se ganan su fama. El $2$ es el único primo par — cualquier otro número par ya contiene un $2$ como factor extra. Y el $1$ no es ni primo ni compuesto: si llamáramos primo al $1$, la promesa de “exactamente una manera” se derrumbaría, porque $6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 \dots$ Los matemáticos cerraron esa puerta por definición.

Para encontrar los átomos de un número, pártelo como puedas y sigue partiendo hasta que solo queden primos — un árbol de factores:

Prueba con $60$ y comprueba que coincide con los pasos de arriba. Después predice las hojas de $64$ antes de escribirlo — ¿cuántos $2$? Y luego prueba $97$: el árbol se niega a ramificar.

Atajos de divisibilidad — y por qué funcionan

Los árboles de factores necesitan una forma de detectar factores rápido, y para eso están estos atajos — un factor de un vistazo, sin división larga.

La regla de la suma de cifras merece una segunda mirada, porque parece magia. Cada $10$ es un $9$ más $1$, cada $100$ es un $99$ más $1$ — así que $342 = 3(99+1) + 4(9+1) + 2$, que se reagrupa en (una pila de nueves) $+\ 3 + 4 + 2$. La pila de nueves es divisible entre $3$ seguro, así que solo decide la suma de cifras, $9$. No es una coincidencia para memorizar; es el sistema de base diez mostrando sus costuras.

Antes de comprobar $342$: ¿es par? ¿Entra el $3$? ¿Y el $4$? Decide las tres respuestas y luego mira. Después prueba $51$ — parece primo, pero la suma de sus cifras lo delata.

MCD y mcm — dos preguntas, dos direcciones

Ahora los problemas del principio. Las bolsas de regalo preguntan: ¿cuál es el mayor número que divide a $24$ y a $36$ a la vez? — el Máximo Común Divisor. Las salchichas preguntan: ¿cuál es el primer número al que llegan contando tanto el $10$ como el $8$? — el mínimo común múltiplo ($40$: cuatro paquetes de salchichas, cinco de panes).

¿Por qué la gente los intercambia? Porque ambos son “un número que los dos comparten”, y los nombres son un trabalenguas — así que la mente agarra la palabra que salga primero. El rescate es la brújula de direcciones: un divisor común cabe dentro de ambos números, así que el MCD nunca puede superar al menor. Un múltiplo común contiene a ambos números, así que el mcm nunca puede quedar por debajo del mayor. Si tu “MCD de $24$ y $36$” sale $72$, el tamaño solo ya te dice que respondiste la otra pregunta.

La imagen de los átomos primos vuelve mecánicos a los dos: el MCD son los átomos que ambos números comparten (la potencia más baja de cada primo compartido), y el mcm es la colección más pequeña que contiene el juego completo de cada uno (la potencia más alta de cada primo que aparezca).

Pon $12$ y $18$ y predice ambas respuestas primero ($12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$ — átomos compartidos $2 \times 3$). Después prueba $8$ y $9$: ningún primo compartido, así que el MCD cae a $1$ y al mcm no le queda otra que ser el producto completo, $72$.

Lo único que debes recordar

Los números enteros tienen interior, y los primos son los átomos: cada número es una única multiplicación de primos. Las preguntas de factores miran hacia adentro (MCD = los átomos compartidos); las de múltiplos miran hacia arriba (mcm = la pila más pequeña de átomos que contiene a ambos). Cuando dudes de cuál pide un problema, revisa la dirección: repartir en partes iguales mira hacia abajo, coincidir mira hacia arriba.

El vocabulario

• Factor — divide exactamente. Factores de $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
• Múltiplo — lo que obtienes al multiplicar. Múltiplos de $12$: $12, 24, 36, \dots$
• Primo — exactamente dos factores, $1$ y él mismo: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$   ($2$ es el único primo par; $1$ no es primo.)

Atajos de divisibilidad (memorízalos)

MCD frente a mcm

Para $60$ y $18$: