Desigualdades lineales con una variable

Cuando la respuesta es “hasta un máximo de…”

Volvamos al plan de móvil una última vez: $$20$ al mes más $$3$ por gigabyte, y este mes tu presupuesto es de $$35$. ¿Cuántos datos puedes permitirte? No “exactamente cuántos”, sino hasta cuántos. La pregunta en sí no es una ecuación; es una restricción:

$20 + 3g \le 35$

Una desigualdad reemplaza el $=$ por $\lt$, $\gt$, $\le$ (“como máximo”) o $\ge$ (“al menos”), y su respuesta no es un solo número sino todo un rango. La vida real funciona con ellas: límites de velocidad, estaturas mínimas, notas para aprobar, presupuestos. Resuelve esta con exactamente los movimientos de balanza de A1 — resta $20$ a ambos lados ($3g \le 15$), divide entre $3$ ($g \le 5$) — y la respuesta es todo consumo de hasta cinco gigabytes. En una recta numérica, eso no es un punto; es una semirrecta sombreada.

Casi todo se traslada de A1 sin cambios. Una regla es nueva, y lo cambia todo.

La regla de invertir — y por qué no tienes elección

Multiplica o divide ambos lados por un número negativo y tienes que invertir el signo de la desigualdad. Aquí está la imagen que lo hace obvio en lugar de arbitrario: multiplicar por $-1$ refleja toda la recta numérica a través del cero. Los reflejos invierten izquierda y derecha — el $2$ está a la izquierda del $4$, pero sus imágenes espejo caen al revés: el $-2$ está a la derecha del $-4$. Así que cualquier "$\lt$" verdadero entre dos números tiene que volverse "$\gt$" entre sus negativos. Los números no tienen elección, así que tú tampoco.

¿Por qué es la regla más olvidada del álgebra? Porque las ecuaciones te entrenaron a creer que los negativos son inofensivos — en A1 dividías entre $-2$ todo el día y a la igualdad nunca le importó, ya que la imagen espejo de “igual” sigue siendo “igual”. El orden es lo que rompen los espejos, y las desigualdades están hechas de orden. Ante la duda, haz la comprobación de dos segundos: $-2 \lt 4$ es verdadero; divide ambos entre $-2$ y, si mantienes el signo, afirmas $1 \lt -2$ — falso; inviértelo, $1 \gt -2$ ✓.

La regla también se aplica de más, por la misma razón difusa (“negativo… ¿invierto algo?”). Sumar o restar un negativo nunca invierte — deslizar toda la recta a izquierda o derecha conserva el orden de todos — y dividir entre un positivo nunca invierte. Solo un ×/÷ negativo levanta el espejo.

Aquí está el viaje completo hecho una vez en la pizarra — resolver, invertir en el negativo y luego dibujar la respuesta como un rango:

Ahora resuelve una tú:

El resolutor abre con $-2x + 1 \ge 9$. Predice dónde ocurrirá la inversión antes de leer los pasos ($-1$ primero — sin invertir; luego $\div(-2)$ — invierte). Después usa el probador: mete $-4$, luego $-5$, luego $0$, y observa cuáles caen dentro del rango sombreado.

Graficar: abierto ○ vs cerrado ●

Para dibujar $x \le 5$: marca la frontera, sombrea el lado verdadero y deja que el círculo en la frontera diga si el $5$ mismo pertenece. Un signo “o igual a” ($\le$, $\ge$) incluye la frontera — cerrado ●. Un signo estricto ($\lt$, $\gt$) la excluye — abierto ○. Los rangos estrictos tienen una propiedad extraña y útil: $x \lt 6$ contiene $5.9$, $5.99$, $5.999$… pero ninguna solución más grande, porque la frontera misma es el único punto que falta.

Fija la frontera en $6$ con $\lt$, luego cambia a $\le$ y observa cómo el extremo se rellena — un píxel de tinta, un número de diferencia.

Desigualdades compuestas — entre dos límites

Algunas restricciones tienen dos lados: un paquete solo se envía si su peso $w$ cumple $1 \lt w \le 20$ kilogramos. Una cadena como $-5 \le 2t + 1 \lt 11$ son solo dos desigualdades que comparten la expresión del medio — "$-5 \le 2t+1$" y "$2t + 1 \lt 11$" — así que todo movimiento de balanza tiene que tocar las tres partes para mantener ambas afirmaciones verdaderas a la vez. Resta $1$ a las tres: $-6 \le 2t \lt 10$. Divide las tres entre $2$: $-3 \le t \lt 5$ — un segmento, cerrado en un extremo y abierto en el otro. (Y si alguna vez divides una cadena entre un negativo, ambos signos se invierten y la cadena cambia de sentido.) Prueba estas en la pestaña Compuestas — sus fichas de ejemplo incluyen una cadena con $\div(-2)$.

Cuando la x desaparece

Igual que en las ecuaciones, los términos con $x$ pueden cancelarse por completo. Lee lo que queda: una afirmación siempre verdadera ($5 \gt 1$) significa que todos los números reales la cumplen; una imposible ($5 \lt 1$) significa sin solución. La lógica es la de A1, con un signo de desigualdad puesto.

Lo único que hay que recordar

Una desigualdad se resuelve como una ecuación, pero su respuesta es un rango, y a los rangos les importa el orden — así que la única ley nueva es la del espejo: multiplicar o dividir ambos lados por un negativo refleja la recta numérica e invierte el signo. Los círculos de frontera dicen si el borde mismo cuenta, y una cadena compuesta son dos restricciones que cada movimiento debe respetar a la vez.

Qué cambia respecto a las ecuaciones

Una desigualdad usa $\lt$ (menor que), $\gt$ (mayor que), $\le$ (como máximo) o $\ge$ (al menos) en lugar de $=$. La respuesta no es un número — es todo un rango de números.

Se resuelve casi igual que una ecuación: distribuye, quita las fracciones, reúne los términos semejantes y deshaz las operaciones para despejar la $x$. Una regla es nueva, y lo cambia todo.

Ejemplo resuelto — básico

$3x - 7 \lt 11$

Ejemplo resuelto — la inversión

$-2x + 1 \ge 9$

Una gran comprobación de seguridad: elige un número dentro de tu rango y pruébalo en la original. $x = -5$ es $\le -4$, y $-2(-5) + 1 = 11 \ge 9$ ✓.

Graficar en una recta numérica

Marca la frontera y luego sombrea la dirección que es verdadera.

Con la $x$ a la izquierda, mayor ($\gt$ $\ge$) sombrea a la derecha, menor ($\lt$ $\le$) sombrea a la izquierda.

Desigualdades compuestas

Dos condiciones a la vez.

• “Y” (entre dos): escrita como una cadena, p. ej. $-1 \le 2x + 3 \lt 9$. Haz cada operación en las tres partes. Resta $3$ a las tres: $-4 \le 2x \lt 6$. Divide las tres entre $2$: $-2 \le x \lt 3$. La solución es el segmento entre $-2$ y $3$.
• “O”: p. ej. $x \lt -1$ o $x \gt 4$ — dos semirrectas separadas que van en direcciones opuestas.

Dos respuestas especiales

A veces los términos con $x$ se cancelan por completo. Mira lo que queda: