Álgebra Unidad A2

Desigualdades lineales con una variable

Resolver y graficar desigualdades, la regla de invertir el signo y las desigualdades compuestas.

Una desigualdad usa menor que, mayor que, ≤ o ≥ en lugar de =, así que su respuesta no es un solo número — es todo un rango que dibujas en una recta numérica. Se resuelve casi igual que una ecuación, con una única regla que lo cambia todo — al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Un signo estricto lleva un círculo abierto; uno "o igual a" lleva uno cerrado. Las desigualdades compuestas "entre dos" aplican cada paso a las tres partes a la vez. Cuando los términos con x se cancelan, una afirmación verdadera significa todos los números reales y una falsa, sin solución.

Se apoya en: A1 · Linear Equations (one variable)

Cuando la respuesta es “hasta un máximo de…”

Volvamos al plan de móvil una última vez: $ $20$ al mes más $ $3$ por gigabyte, y este mes tu presupuesto es de $ $35$ . ¿Cuántos datos puedes permitirte? No “exactamente cuántos”, sino hasta cuántos. La pregunta en sí no es una ecuación; es una restricción:

$20 + 3g \le 35$

Una desigualdad reemplaza el $=$ por $\lt$ , $\gt$ , $\le$ (“como máximo”) o $\ge$ (“al menos”), y su respuesta no es un solo número sino todo un rango. La vida real funciona con ellas: límites de velocidad, estaturas mínimas, notas para aprobar, presupuestos. Resuelve esta con exactamente los movimientos de balanza de A1 — resta $20$ a ambos lados ( $3g \le 15$ ), divide entre $3$ ( $g \le 5$ ) — y la respuesta es todo consumo de hasta cinco gigabytes. En una recta numérica, eso no es un punto; es una semirrecta sombreada.

Casi todo se traslada de A1 sin cambios. Una regla es nueva, y lo cambia todo.

La regla de invertir — y por qué no tienes elección

Multiplica o divide ambos lados por un número negativo y tienes que invertir el signo de la desigualdad. Aquí está la imagen que lo hace obvio en lugar de arbitrario: multiplicar por $-1$ refleja toda la recta numérica a través del cero. Los reflejos invierten izquierda y derecha — el $2$ está a la izquierda del $4$ , pero sus imágenes espejo caen al revés: el $-2$ está a la derecha del $-4$ . Así que cualquier " $\lt$ " verdadero entre dos números tiene que volverse " $\gt$ " entre sus negativos. Los números no tienen elección, así que tú tampoco.

¿Por qué es la regla más olvidada del álgebra? Porque las ecuaciones te entrenaron a creer que los negativos son inofensivos — en A1 dividías entre $-2$ todo el día y a la igualdad nunca le importó, ya que la imagen espejo de “igual” sigue siendo “igual”. El orden es lo que rompen los espejos, y las desigualdades están hechas de orden. Ante la duda, haz la comprobación de dos segundos: $-2 \lt 4$ es verdadero; divide ambos entre $-2$ y, si mantienes el signo, afirmas $1 \lt -2$ — falso; inviértelo, $1 \gt -2$ ✓.

La regla también se aplica de más, por la misma razón difusa (“negativo… ¿invierto algo?”). Sumar o restar un negativo nunca invierte — deslizar toda la recta a izquierda o derecha conserva el orden de todos — y dividir entre un positivo nunca invierte. Solo un ×/÷ negativo levanta el espejo.

Resuelve una y observa el rango

El resolutor abre con $-2x + 1 \ge 9$ . Predice dónde ocurrirá la inversión antes de leer los pasos ( $-1$ primero — sin invertir; luego $\div(-2)$ — invierte). Después usa el probador: mete $-4$ , luego $-5$ , luego $0$ , y observa cuáles caen dentro del rango sombreado.

Graficar: abierto ○ vs cerrado ●

Para dibujar $x \le 5$ : marca la frontera, sombrea el lado verdadero y deja que el círculo en la frontera diga si el $5$ mismo pertenece. Un signo “o igual a” ( $\le$ , $\ge$ ) incluye la frontera — cerrado ●. Un signo estricto ( $\lt$ , $\gt$ ) la excluye — abierto ○. Los rangos estrictos tienen una propiedad extraña y útil: $x \lt 6$ contiene $5.9$ , $5.99$ , $5.999$ … pero ninguna solución más grande, porque la frontera misma es el único punto que falta.

Elige un símbolo y una frontera

Fija la frontera en $6$ con $\lt$ , luego cambia a $\le$ y observa cómo el extremo se rellena — un píxel de tinta, un número de diferencia.

Desigualdades compuestas — entre dos límites

Algunas restricciones tienen dos lados: un paquete solo se envía si su peso $w$ cumple $1 \lt w \le 20$ kilogramos. Una cadena como $-5 \le 2t + 1 \lt 11$ son solo dos desigualdades que comparten la expresión del medio — " $-5 \le 2t+1$ " y " $2t + 1 \lt 11$ " — así que todo movimiento de balanza tiene que tocar las tres partes para mantener ambas afirmaciones verdaderas a la vez. Resta $1$ a las tres: $-6 \le 2t \lt 10$ . Divide las tres entre $2$ : $-3 \le t \lt 5$ — un segmento, cerrado en un extremo y abierto en el otro. (Y si alguna vez divides una cadena entre un negativo, ambos signos se invierten y la cadena cambia de sentido.) Prueba estas en la pestaña Compuestas — sus fichas de ejemplo incluyen una cadena con $\div(-2)$ .

Cuando la x desaparece

Igual que en las ecuaciones, los términos con $x$ pueden cancelarse por completo. Lee lo que queda: una afirmación siempre verdadera ( $5 \gt 1$ ) significa que todos los números reales la cumplen; una imposible ( $5 \lt 1$ ) significa sin solución. La lógica es la de A1, con un signo de desigualdad puesto.

Lo único que hay que recordar

Una desigualdad se resuelve como una ecuación, pero su respuesta es un rango, y a los rangos les importa el orden — así que la única ley nueva es la del espejo: multiplicar o dividir ambos lados por un negativo refleja la recta numérica e invierte el signo. Los círculos de frontera dicen si el borde mismo cuenta, y una cadena compuesta son dos restricciones que cada movimiento debe respetar a la vez.

Qué cambia respecto a las ecuaciones

Una desigualdad usa $\lt$ (menor que), $\gt$ (mayor que), $\le$ (como máximo) o $\ge$ (al menos) en lugar de $=$ . La respuesta no es un número — es todo un rango de números.

Se resuelve casi igual que una ecuación: distribuye, quita las fracciones, reúne los términos semejantes y deshaz las operaciones para despejar la $x$ . Una regla es nueva, y lo cambia todo.

Ejemplo resuelto — básico

$3x - 7 \lt 11$

+7 a ambos lados

3x \lt 18

÷3 (positivo — no invierte)

x \lt \mathbf{6}

Ejemplo resuelto — la inversión

$-2x + 1 \ge 9$

−1 a ambos lados

-2x \ge 8

÷(−2) → invierte

x \le \mathbf{-4}

Una gran comprobación de seguridad: elige un número dentro de tu rango y pruébalo en la original. $x = -5$ es $\le -4$ , y $-2(-5) + 1 = 11 \ge 9$ ✓.

Graficar en una recta numérica

Marca la frontera y luego sombrea la dirección que es verdadera.

Símbolo	Círculo en la frontera	Hacia dónde sombrear
$\lt$ o $\gt$	Abierto ○ — frontera no incluida	hacia el lado verdadero
$\le$ o $\ge$	Cerrado ● — frontera incluida	hacia el lado verdadero

Con la $x$ a la izquierda, mayor ( $\gt$ $\ge$ ) sombrea a la derecha, menor ( $\lt$ $\le$ ) sombrea a la izquierda.

Desigualdades compuestas

Dos condiciones a la vez.

“Y” (entre dos): escrita como una cadena, p. ej. $-1 \le 2x + 3 \lt 9$ . Haz cada operación en las tres partes. Resta $3$ a las tres: $-4 \le 2x \lt 6$ . Divide las tres entre $2$ : $-2 \le x \lt 3$ . La solución es el segmento entre $-2$ y $3$ .
“O”: p. ej. $x \lt -1$ o $x \gt 4$ — dos semirrectas separadas que van en direcciones opuestas.

Dos respuestas especiales

A veces los términos con $x$ se cancelan por completo. Mira lo que queda:

Terminas con…	Significado
Una afirmación verdadera, p. ej. $5 \gt 1$	Todos los números reales — toda $x$ funciona.
Una afirmación falsa, p. ej. $5 \lt 1$	Sin solución — ninguna $x$ puede funcionar.