Ecuaciones lineales con dos variables

Todos los meses de facturas, dibujados de una vez

La máquina de facturas de móvil de F8 — $$20$ más $$3$ por gigabyte — te viene siguiendo por toda el álgebra. Grafícala. Un mes de $1$ GB cuesta $$23$: el punto $(1, 23)$. Cuatro gigabytes, $(4, 32)$. Todos los meses posibles caen sobre una sola recta perfectamente derecha, y esa recta tiene una ecuación:

$y = 3x + 20$

Léela con ojos de A3: el $3$ es la pendiente — la factura sube $$3$ por cada gigabyte de avance — y el $20$ es el corte con y, la cuota fija esperando en consumo cero, el punto $(0, 20)$. Esa es la forma pendiente-intersección, $y = mx + b$: conoce la inclinación de una recta y un punto ancla en el eje y, y conoces toda la recta.

¿Qué significa que un punto esté “sobre” la recta? Solo que su dirección satisface la ecuación. ¿Está $(4, 32)$ sobre esta recta? Comprueba: $3(4) + 20 = 32$ ✓. ¿Y $(5, 36)$? $3(5) + 20 = 35 \ne 36$ — ese mes no existe en este plan. Una ecuación con dos variables es una prueba de pertenencia para puntos.

Mira trabajar a los dos números uno a la vez — $b$ desliza la recta y luego $m$ la inclina alrededor de su ancla:

Ahora toma tú los controles:

Arrastra los números: predice primero, luego comprueba. Haz $m$ negativa — la recta cae hacia la derecha. Pon $m = 0$ — la recta plana de A3, el caso de “pendiente cero”. Después deja $m$ quieta y desliza $b$: la inclinación nunca cambia, toda la recta solo sube y baja.

Una recta, tres atuendos

La misma recta se puede vestir de tres maneras, y eliges el atuendo que combina con la información que te dan:

La forma punto-pendiente parece extraña hasta que ves de dónde sale. Toma la fórmula de la pendiente de A3 entre un punto conocido $(x_1, y_1)$ y cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta: $m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$. Multiplica ambos lados por el avance, y ahí está: $y - y_1 = m(x - x_1)$. No es una fórmula nueva que memorizar — es la definición de pendiente, reordenada. Úsala siempre que conozcas la pendiente y un punto que no sea el corte con y: sustituye y listo.

La forma general $Ax + By = C$ (enteros, normalmente $A \ge 0$) es la forma natural de los problemas de compra combinada: $3$ hamburguesas y $2$ papas por $$18$ es $3x + 2y = 18$ antes de hacer nada de álgebra. El SAT se apoya en esta forma constantemente, justo porque nada en ella anuncia la pendiente.

Leer una recta a partir de la forma general

Para ver la pendiente escondida en $2x - 3y = 6$, haz lo honesto: despeja $y$ con los movimientos de A1. Resta $2x$: $-3y = -2x + 6$. Divide entre $-3$: $y = \tfrac{2}{3}x - 2$. La misma recta, con la pendiente ahora visible. Las fórmulas atajo —

$\text{pendiente} = -\frac{A}{B}, \qquad \text{corte con y} = \frac{C}{B}, \qquad \text{corte con x} = \frac{C}{A}$

— son esa división hecha una vez en general, y el signo menos en $-\frac{A}{B}$ es exactamente el paso “dividir entre el signo de $B$” que la gente se salta cuando lo hace al ojo. Si recuerdas el atajo, recuerda su menos; si dudas del menos, simplemente despeja $y$ — treinta segundos, sin fe requerida.

Una trampa más del “al ojo” ya que estamos: en $y = 4 - 3x$, la pendiente es $-3$, no $4$. Años de ejemplos $y = mx + b$ ponen la pendiente primero después del signo igual, así que el ojo agarra el $4$. La regla real no tiene excepciones: la pendiente es lo que multiplica a $x$ (con su signo); la constante suelta es el corte — donde sea que cada una haya quedado.

Aquí está esa misma recta, en vivo. Cámbiale el traje y mira el plano: el álgebra se reescribe, la recta no se mueve ni un píxel — eso es lo que significa “la misma recta”.

Paralelas y perpendiculares

Las rectas paralelas nunca se encuentran porque suben a ritmos idénticos: misma pendiente, distintos cortes con y. (Misma pendiente y mismo corte no es paralela — es la misma recta dos veces.)

Perpendicular es un cuarto de vuelta, y el cuarto de vuelta le hace algo elegante al triángulo de pendiente: lo que era el avance se vuelve la subida, y una pierna cambia de dirección. Gira el triángulo “avanza $3$, sube $2$” ($m = \tfrac{2}{3}$) por $90°$ y se vuelve “avanza $-2$, sube $3$” ($m = -\tfrac{3}{2}$): la fracción se invierte y el signo se niega. Haz ambas cosas, siempre — invertir sola o negar sola da una recta que es meramente distinta, no perpendicular.

Un par especial queda fuera de la fórmula: una recta horizontal (pendiente $0$) y una recta vertical (pendiente indefinida) son perpendiculares, aunque el $0$ no tenga recíproco que invertir.

De dos puntos a la ecuación completa

Los problemas reales a menudo te dan solo dos puntos. La cadena corre entera sobre herramientas que ya tienes: la pendiente con la fórmula de A3, luego punto-pendiente con cualquiera de los puntos, y por último ordenar en pendiente-intersección. Dale a la pestaña Desde dos puntos los puntos de la escalera de A3 — $(2, 1)$ y $(6, 9)$ — y predice la pendiente y el corte antes de que construya la ecuación.

Lo único que hay que recordar

Una ecuación con dos variables es una prueba de pertenencia para puntos, y una recta es todo lo que pasa la prueba. $y = mx + b$ muestra el ritmo y el valor inicial; punto-pendiente es la fórmula de la pendiente reordenada; la forma general esconde la pendiente en $-\frac{A}{B}$ hasta que despejas $y$. Paralela significa misma pendiente; perpendicular significa invertir y negar.

Las tres formas

A partir de la forma general $Ax + By = C$:

• pendiente $= -\dfrac{A}{B}$
• corte con y $= \dfrac{C}{B}$,   corte con x $= \dfrac{C}{A}$

Ejemplo: $2x - 3y = 6 \Rightarrow$ pendiente $= -\tfrac{2}{-3} = \tfrac{2}{3}$,   corte y $= \tfrac{6}{-3} = -2$.

Paralelas y perpendiculares