Sistemas de equações

Duas máquinas, uma entrada onde elas concordam

A5 deixou dois planos de celular lado a lado — $B(g) = 3g + 20$ e $L(g) = 5g + 10$ — e só conseguia compará-los de um gigabyte por vez: será que $B(4) < L(4)$? ($32$ contra $30$ — o plano mais caro por giga vence em quatro gigas.) Mas a pergunta de verdade nunca foi sobre quatro gigabytes especificamente. Foi onde o vencedor muda? Essa é uma única entrada $g$ onde as duas máquinas dão a mesma saída, e achá-la significa escrever as duas regras de uma vez:

$B(g) = 3g + 20 \qquad\qquad L(g) = 5g + 10$

Duas equações, consideradas juntas, são um sistema. Resolver um sistema significa achar a entrada (ou as entradas) que tornam cada equação verdadeira ao mesmo tempo — não uma por vez, as duas. A4 chamou uma equação de duas variáveis de teste de pertinência para pontos; um sistema só roda dois testes de pertinência sobre o mesmo ponto e guarda apenas o que passa nos dois.

O sistema mais fácil já está resolvido para você

Aqui as duas regras já estão resolvidas para a mesma saída, então o sistema praticamente escreve o próprio primeiro movimento: se $B(g)$ e $L(g)$ alguma vez forem iguais, então seja lá o que forem, são iguais entre si.

Em exatamente $5$ gigabytes os dois planos custam $$35$; abaixo de $5$, $L$ (a taxa mais íngreme) é mais barato; acima, $B$ vence. Isso é a substituição na sua forma mais limpa: duas expressões para a mesma saída, igualadas, resolvidas com ferramentas que você já tem.

Substituição quando ainda não há nada isolado

A maioria dos sistemas não chega pré-resolvida. $2x + y = 7$ e $x - y = 2$ ainda escondem um único ponto de concordância, mas nenhuma equação está na forma "$y = \ldots$". A substituição ainda funciona — você só isola uma variável primeiro. A segunda equação dá $x$ quase de graça: $x = y + 2$. Substitua essa expressão onde quer que a primeira equação tenha um $x$:

Escolha sempre a variável que já tem coeficiente $1$ (ou $-1$) para isolar — não custa frações nem trabalho extra.

Eliminação: duas balanças niveladas, somadas

A1 construiu a resolução sobre uma regra: uma equação é uma balança, e o que você faz de um lado precisa fazer do outro. Um sistema te dá duas balanças niveladas de uma vez — e aqui está o movimento que a substituição não te mostra: se a balança um está nivelada e a balança dois está nivelada, empilhar os pratos mantém o resultado nivelado. Some lado esquerdo com lado esquerdo, lado direito com lado direito, e você ganha uma terceira equação verdadeira, de graça.

Isso só é útil se uma variável desaparecer no processo, o que acontece quando os coeficientes dela nas duas equações são iguais ou opostos. Pegue $2x + 3y = 13$ e $2x - y = 1$: as duas têm $2x$, então subtrair cancela isso diretamente.

Depois $2x + 3(3) = 13$ dá $x = 2$ — o ponto $(2, 3)$. Quando os coeficientes ainda não são iguais ou opostos, multiplique uma ou as duas equações inteiras por uma constante primeiro — legal pela mesma razão da balança que A1 deu: multiplicar os dois lados de uma balança nivelada pelo mesmo número a mantém nivelada.

Preveja primeiro: com o $2x + y = 7$ e $x - y = 2$ padrão, adivinhe $(x, y)$ antes de ler os passos — você já resolveu algo parecido acima. Depois vire o botão entre substituição e eliminação no mesmo sistema: o mesmo ponto, caminho diferente. Experimente a ficha que diz $x + 2y = 6$ e $2x + 4y = 20$ — parece que a segunda equação é só a primeira dobrada, mas confira as constantes.

Representar no gráfico: onde as retas de fato se cruzam

Cada equação de um sistema é uma reta (A4), então um sistema são só duas retas numa malha, e a solução é onde quer que elas se cruzem fisicamente. Essa imagem geométrica explica os três resultados que a álgebra pode produzir:

• Um cruzamento — inclinações diferentes. O caso comum: uma solução.
• Nenhum cruzamento — mesma inclinação, corte diferente: as retas são paralelas, e a álgebra ecoa isso exatamente do jeito que A1 te avisou — toda variável se cancela, deixando uma afirmação falsa como $0 = 8$.
• Todos os pontos compartilhados — mesma inclinação e mesmo corte: é a mesma reta, desenhada duas vezes. A álgebra de novo cancela tudo, mas cai numa afirmação verdadeira como $0 = 0$ — infinitas soluções.

Comece na ficha paralelas e preveja: arrastar qualquer um dos cortes vai fazer essas duas retas se encontrarem alguma vez? (Não — só uma mudança de inclinação consegue.) Depois experimente a mesma reta — repare que as duas equações impressas no painel de informação são idênticas, não só parecidas.

Ideias erradas que vale a pena nomear

“A substituição e a eliminação dão respostas diferentes” — não podem. As duas partem das mesmas duas afirmações verdadeiras sobre $x$ e $y$; elas só aposentam uma variável em ordem diferente. Se os seus dois métodos discordam, um deles tem um deslize de aritmética, não um sistema genuinamente diferente.

A eliminação esconde uma cilada de sinais. Subtrair uma equação inteira de outra significa trocar o sinal de cada termo do lado que você subtrai — não só do primeiro termo em que o olho cai. $(2x + 3y) - (2x - y)$ não é $2x + 3y - 2x - y$: o $-y$ da segunda equação também troca, virando $+y$, que é exatamente por que os $y$ se somam em vez de sumir. Trate a equação subtraída como um bloco único entre parênteses e distribua o menos por tudo, do jeito que A1 te ensinou a distribuir um negativo por parênteses.

Resolver só uma variável e parar é a meia-resposta mais comum de todas: a solução de um sistema é um ponto, e informar $x = 3$ sem também dizer $y$ responde metade da pergunta. Sempre substitua de volta.

Por fim, “sem solução” não é a mesma coisa que “uma coordenada por acaso é $0$”. Um sistema de verdade só não tem solução quando as retas são estritamente paralelas — nunca se tocando em lugar nenhum da malha infinita, não só fora da janelinha que você desenhou.

A única coisa para lembrar

Um sistema são duas (ou mais) equações que precisam ser verdadeiras juntas; resolvê-lo significa achar a entrada (ou entradas) onde elas concordam. A substituição e a eliminação são dois caminhos para o mesmo ponto — escolha o que deixar menos aritmética — e o número de soluções é na verdade uma pergunta sobre duas retas: cruzar uma vez, correr paralelas para sempre, ou ficar uma em cima da outra.

Dois métodos, lado a lado

Os dois caem sempre no mesmo ponto — escolha o que custar menos aritmética para o sistema à sua frente.

Ler o número de soluções nas retas