Equações lineares com duas variáveis

Todos os meses de contas, desenhados de uma vez

A máquina de conta de celular de F8 — $$20$ mais $$3$ por gigabyte — vem te seguindo pela álgebra toda. Represente-a. Um mês de $1$ GB custa $$23$: o ponto $(1, 23)$. Quatro gigabytes, $(4, 32)$. Todos os meses possíveis caem sobre uma única reta perfeitamente reta, e essa reta tem uma equação:

$y = 3x + 20$

Leia com olhos de A3: o $3$ é a inclinação — a conta sobe $$3$ por gigabyte de avanço — e o $20$ é o corte com y, a taxa fixa esperando em consumo zero, o ponto $(0, 20)$. Essa é a forma reduzida, $y = mx + b$: conheça a inclinação de uma reta e um ponto-âncora no eixo y e você conhece a reta inteira.

O que significa um ponto estar “sobre” a reta? Só que o endereço dele satisfaz a equação. $(4, 32)$ está sobre esta reta? Confira: $3(4) + 20 = 32$ ✓. E $(5, 36)$? $3(5) + 20 = 35 \ne 36$ — esse mês não existe neste plano. Uma equação com duas variáveis é um teste de pertinência para pontos.

Veja os dois números trabalharem um de cada vez — $b$ desliza a reta e depois $m$ a inclina em torno da âncora:

Agora assuma você os controles:

Arraste os números: preveja primeiro, depois confira. Deixe $m$ negativo — a reta cai para a direita. Ponha $m = 0$ — a reta plana de A3, o caso “inclinação zero”. Depois deixe $m$ quieto e deslize $b$: a inclinação nunca muda, a reta inteira só sobe e desce.

Uma reta, três roupas

A mesma reta pode se vestir de três jeitos, e você escolhe a roupa que combina com a informação que te deram:

A forma ponto-inclinação parece estranha até você ver de onde ela vem. Pegue a fórmula da inclinação de A3 entre um ponto conhecido $(x_1, y_1)$ e qualquer outro ponto $(x, y)$ da reta: $m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$. Multiplique os dois lados pelo avanço, e pronto: $y - y_1 = m(x - x_1)$. Não é uma fórmula nova para decorar — é a definição de inclinação, reorganizada. Use-a sempre que souber a inclinação e um ponto que não seja o corte com y: substitua e pronto.

A forma geral $Ax + By = C$ (inteiros, normalmente $A \ge 0$) é o formato natural dos problemas de compra combinada: $3$ hambúrgueres e $2$ batatas por $$18$ é $3x + 2y = 18$ antes de você fazer qualquer álgebra. O SAT se apoia nesta forma o tempo todo, justamente porque nada nela anuncia a inclinação.

Ler uma reta a partir da forma geral

Para ver a inclinação escondida em $2x - 3y = 6$, faça o honesto: isole $y$ com os movimentos de A1. Subtraia $2x$: $-3y = -2x + 6$. Divida por $-3$: $y = \tfrac{2}{3}x - 2$. A mesma reta, com a inclinação agora visível. As fórmulas atalho —

$\text{inclinação} = -\frac{A}{B}, \qquad \text{corte com y} = \frac{C}{B}, \qquad \text{corte com x} = \frac{C}{A}$

— são essa divisão feita uma vez em geral, e o sinal de menos em $-\frac{A}{B}$ é exatamente o passo “dividir pelo sinal de $B$” que as pessoas pulam quando olham no olho. Se você lembra do atalho, lembre do menos dele; se duvida do menos, é só isolar $y$ — trinta segundos, sem fé exigida.

Mais uma armadilha do “no olho” já que estamos aqui: em $y = 4 - 3x$, a inclinação é $-3$, não $4$. Anos de exemplos $y = mx + b$ põem a inclinação logo depois do sinal de igual, então o olho agarra o $4$. A regra de verdade não tem exceções: a inclinação é o que multiplica $x$ (com sinal e tudo); a constante sozinha é o corte — onde quer que cada uma tenha parado.

Aqui está essa mesma reta, ao vivo. Troque a roupa dela e observe o plano: a álgebra se reescreve, a reta não se move nem um pixel — é isso que “a mesma reta” quer dizer.

Paralelas e perpendiculares

Retas paralelas nunca se encontram porque sobem em ritmos idênticos: mesma inclinação, cortes com y diferentes. (Mesma inclinação e mesmo corte não é paralela — é a mesma reta duas vezes.)

Perpendicular é um quarto de volta, e o quarto de volta faz algo elegante com o triângulo de inclinação: o que era o avanço vira a subida, e um cateto muda de direção. Gire o triângulo “avança $3$, sobe $2$” ($m = \tfrac{2}{3}$) em $90°$ e ele vira “avança $-2$, sobe $3$” ($m = -\tfrac{3}{2}$): a fração se inverte e o sinal se nega. Faça as duas coisas, sempre — inverter sozinho ou negar sozinho dá uma reta que é meramente diferente, não perpendicular.

Um par especial fica fora da fórmula: uma reta horizontal (inclinação $0$) e uma reta vertical (inclinação indefinida) são perpendiculares, mesmo que o $0$ não tenha inverso para inverter.

De dois pontos à equação inteira

Problemas reais muitas vezes te dão só dois pontos. A esteira roda inteira sobre ferramentas que você já tem: a inclinação pela fórmula de A3, depois ponto-inclinação com qualquer um dos pontos, e por fim arrume na forma reduzida. Dê à aba A partir de dois pontos os pontos da escada de A3 — $(2, 1)$ e $(6, 9)$ — e preveja a inclinação e o corte antes de ela montar a equação.

A única coisa para lembrar

Uma equação com duas variáveis é um teste de pertinência para pontos, e uma reta é tudo o que passa. $y = mx + b$ mostra o ritmo e o valor inicial; ponto-inclinação é a fórmula da inclinação reorganizada; a forma geral esconde a inclinação em $-\frac{A}{B}$ até você isolar $y$. Paralela significa mesma inclinação; perpendicular significa inverter e negar.

As três formas

A partir da forma geral $Ax + By = C$:

• inclinação $= -\dfrac{A}{B}$
• corte com y $= \dfrac{C}{B}$,   corte com x $= \dfrac{C}{A}$

Exemplo: $2x - 3y = 6 \Rightarrow$ inclinação $= -\tfrac{2}{-3} = \tfrac{2}{3}$,   corte y $= \tfrac{6}{-3} = -2$.

Paralelas e perpendiculares