Introdução às variáveis

Uma conta que não é um número só

Seu plano de celular custa $$20$ por mês, mais $$3$ por gigabyte de dados. Quanto vem a conta? Não há uma resposta única — depende dos dados. Mas o padrão é fixo, e você pode escrevê-lo uma única vez: $20 + 3g$, onde $g$ representa os gigabytes que você usar. Essa letrinha é o salto inteiro para a álgebra. Uma variável é um espaço reservado para um número que você ainda não conhece — e uma expressão construída em volta de uma não é uma pergunta esperando resposta: é uma máquina. Alimente-a com o consumo de qualquer mês e sai a conta daquele mês.

A máquina roda numa gramática que já é sua: $20 + 3g$ obedece exatamente à mesma escada de prioridades das expressões de F1 — multiplique $3$ por $g$ primeiro, depois some. A única novidade é um espaço em branco onde antes havia um número.

O vocabulário, a partir da conta do celular

Cada peça de uma expressão tem nome, e a conta os torna concretos. Um termo é um bloco colado por multiplicação: $20$ e $3g$ são os dois termos daqui. Um coeficiente é o número que acompanha uma variável — o $3$ de $3g$, e ele significa algo: três dólares por gigabyte. Uma constante é um termo sem variável — o $20$, a parte da conta que nunca muda. Quase tudo nesta unidade é organizar expressões feitas dessas peças.

Calcular o valor — alimente a máquina

Digamos que você usou $4$ gigabytes. Calcule o valor da expressão substituindo o valor e computando com a ordem de operações de sempre: $20 + 3(4) = 20 + 12 = 32$ dólares. “Substituir” é só isso — no momento em que o valor da variável fica conhecido, a expressão inteira desaba num número.

O widget abre com $3x + 2$ e $x = 4$. Preveja o resultado e confira. Agora experimente a mesma expressão com $x = -1$ — cuidado, o coeficiente multiplica o $-1$ inteiro — e depois digite $20 + 3x$ com o seu próprio “consumo de dados”.

Termos semelhantes — só se contam os tipos que combinam

Simplifique $3x + 2 + 5x - 6$. Os termos com $x$ se contam juntos ($3$ xis mais $5$ xis são $8x$), as constantes se contam juntas ($2 - 6 = -4$), e a resposta é $8x - 4$. O que você não pode fazer é fundir $8x$ com $-4$ num número só — e a coceira de fazer mesmo assim merece ser entendida. A aritmética passou anos treinando você para que uma resposta pronta seja um único número, então $3x + 5$ parece inacabado, e "$8x$" coça exatamente ali. Mas termos com $x$ e constantes são unidades diferentes — $3x$ significa “três xis”, assim como 3 polegadas não se fundem com 5 milhas (o mesmo pensamento de unidades de F3). A mentira aparece assim que chega um valor: com $x = 2$, $3x + 5$ é $11$, enquanto $8x$ seria $16$. Uma expressão como $8x - 4$ é uma resposta pronta — um número à espera.

A propriedade distributiva — multiplique por tudo

Você já distribui de cabeça. Se pedirem $7 \times 103$, você jamais armaria a conta — você a partiria: $7 \times 100$ mais $7 \times 3$, ou seja, $721$. As letras só oficializam a partição: um número fora do parêntese multiplica cada termo de dentro, $a(bx + c) = abx + ac$. A imagem é a área de um retângulo: altura $a$, largura partida em $bx$ e $c$ — a área total é a soma dos dois painéis.

A caixa abre com $5(2x - 3)$. Preveja os dois termos da resposta antes de olhar, e depois torne negativo o número de fora e observe o que acontece com cada painel do retângulo.

A armadilha do sinal negativo

Esse último experimento é o deslize mais caro da álgebra inicial. Em $-2(x + 4)$, o fator de fora é o $-2$ inteiro — sinal incluído — e ele precisa alcançar cada termo: $-2x - 8$, não $-2x + 4$. Parar depois do primeiro termo parece natural porque o olho lê ”$-2$ vezes $x$… pronto” e o $+4$ parece já atendido pelo próprio sinal de mais. Um detector de mentiras de cinco segundos: substitua $x = 1$. O original dá $-2(5) = -10$; a versão errada dá $-2 + 4 = 2$; a certa dá $-2 - 8 = -10$ ✓. Esse truque — testar qualquer simplificação com um número pequeno — pega quase todos os deslizes de álgebra que você vai cometer na vida.

Junte tudo: distribua e depois reduza

Os problemas reais misturam as duas habilidades: distribua primeiro cada parêntese (cuidando dos sinais) e depois conte os termos semelhantes. Dê ao widget $5(2x - 3) - 2(x + 4)$ e preveja só o coeficiente de $x$ antes de olhar. Depois passe o detector de mentiras no resultado: com $x = 1$, o original e a versão simplificada batem?

A única coisa para lembrar

Uma variável é um número à espera, e uma expressão é uma máquina que vira número assim que você entrega um. Só tipos iguais se contam juntos; um fator de fora — sinal incluído — alcança cada termo de dentro; e, na dúvida sobre uma simplificação ser legal, substitua um número pequeno e deixe a aritmética ser o juiz.

A linguagem da álgebra

Uma variável (como $x$) é um espaço reservado para um número. Um termo é uma única peça: $3x$ ou $-7$. O número na frente de uma variável é o seu coeficiente (em $3x$, o $3$). Um número sozinho é uma constante.

Termos semelhantes

Os termos semelhantes têm exatamente a mesma parte com variável. $3x$ e $5x$ são semelhantes; $3x$ e $5$ não. Você só pode somar ou subtrair termos semelhantes — conte os $x$ juntos, conte os números sozinhos juntos.

$3x + 2 + 5x - 6 = 8x - 4$

Calcular o valor

Para calcular o valor, troque a variável por um número e calcule. Se $x = 4$: $3x + 2 = 3(4) + 2 = 14$.

A propriedade distributiva

Um número fora do parêntese multiplica cada termo de dentro: $a(bx + c) = abx + ac$.

$5(2x - 3) = 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3 = 10x - 15$

Juntando as duas coisas, o exemplo emblemático:

Referência rápida