Expoentes e raízes

Dobre uma folha de papel

Uma folha de papel tem uns $0.1$ milímetros de espessura. Dobre-a ao meio e vira $0.2$; de novo, $0.4$. Na décima dobra, a pilha já tem $10$ centímetros inteiros. Na dobra $23$ ela passaria de um quilômetro, e lá pela dobra $42$ — se o papel deixasse — a pilha alcançaria a Lua. Nenhuma dobra sozinha parece dramática; o drama é que cada passo multiplica em vez de somar. Dobrar dez vezes não é $10 \times 2$, é $2 \times 2 \times \cdots \times 2$ dez vezes — e a matemática precisa de uma notação para “multiplique isto por si mesmo tantas vezes”.

Um expoente é multiplicação repetida

Você conheceu a notação em F1 como a abreviação mais densa da escada de prioridades: em $2^{4}$, a base ($2$) é o que se multiplica e o expoente ($4$) conta as cópias: $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Você a usou desde então — $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ em F2 se apoia nela. Essa leitura de “conta as cópias” é a chave mestra desta unidade: cada regra de expoentes é só o que acontece quando você escreve as cópias por inteiro.

Deduza as regras — não as decore

Multiplique $2^{3} \cdot 2^{4}$ desempacotando os dois: $(2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ — sete cópias de $2$ em fila, então a resposta é $2^{7}$. Cópias se empilham, então produtos de mesma base somam expoentes. A divisão passa o mesmo filme ao contrário: $2^{5} \div 2^{2}$ cancela duas cópias, sobrando $2^{3}$ — subtrai. E uma potência de uma potência faz cópias de cópias: $(2^{3})^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3} = 2^{6}$ — multiplica.

Dois deslizes explicam a maioria dos erros com expoentes, e ambos vêm de a notação parecer mais simétrica do que é. Primeiro, $2^{3} \cdot 5^{4}$ parece que deveria combinar como $2^{3} \cdot 2^{4}$ — mas escreva as cópias e não há nada para empilhar: três $2$ e quatro $5$ não dividem uma base, então a regra simplesmente não se aplica. Segundo, “somo ou multiplico?” embaça sob pressão de tempo; as cópias decidem na hora. Empilhar filas de cópias soma; copiar a fila inteira multiplica.

Abre com a regra do produto em $2^{3} \cdot 2^{4}$. Antes de trocar para cada uma das outras regras, preveja o expoente que ela vai produzir com os mesmos $3$ e $4$ — a regra do quociente deve dar $-1$ (um número pequeno, não um negativo!), e a potência de potência, $12$.

O padrão por trás dos expoentes zero e negativos

O que poderia significar $2^{0}$ — zero cópias de $2$? A resposta visceral é $0$, porque zero cópias soa a nada. E $2^{-3}$ parece que deveria ser negativo. Os dois instintos se quebram contra um padrão que você pode verificar: diminua o expoente de um em um e o valor se divide pela base a cada passo — $2^{3}=8$, $2^{2}=4$, $2^{1}=2$. A escada não para aí: mais um degrau abaixo obriga $2^{0} = 1$ (divida $2$ por $2$), depois $2^{-1}=\frac12$, $2^{-2}=\frac14$, $2^{-3}=\frac18$. Expoentes zero e negativos não são uma regra nova e arbitrária — são os únicos valores que mantêm intacto o padrão de dividir. Então $a^{0}=1$ para qualquer $a$ diferente de zero, e $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$: não negativo, só pequeno.

A calculadora abre com $2^{-3}$ — confira contra a escada. Depois experimente $7^{0}$, e $10^{-2}$: guarde esse último na cabeça, ele volta na notação científica.

Uma raiz é o comprimento de um lado

Desfazer o quadrado tem desenho. Um quadrado de lado $7$ cobre $7^{2} = 49$ ladrilhos; a raiz quadrada faz a pergunta inversa — este quadrado cobre $49$ ladrilhos: quanto mede o lado? $\sqrt{49} = 7$. Elevar ao quadrado leva o lado à sua área; a raiz devolve a área ao seu lado. Uma nota de honestidade que o símbolo exige: $(-7)^{2} = 49$ também, mas $\sqrt{\phantom{6}}$ sempre significa a resposta não negativa — $\sqrt{49}$ é $7$, nunca $-7$. (A equação $x^{2} = 49$ tem duas soluções, sim, mas o $\pm$ dela sai da equação, não do símbolo — uma distinção que trabalha de verdade nos módulos de quadráticas.)

Algumas áreas fecham em lados inteiros, e vale reconhecê-las de relance: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ — os quadrados perfeitos, as referências pelas quais esta seção inteira navega.

Prenda a raiz entre referências

$50$ não está nessa lista — mas fica logo depois de $49 = 7^{2}$ e bem abaixo de $64 = 8^{2}$, e uma área maior sempre pede um lado mais comprido. Então $\sqrt{50}$ está presa: maior que $7$, menor que $8$, mal passando do $7$ (é $7.07\ldots$). Ache as referências dos dois lados, leia o sanduíche — estimar raízes é só isso, e já basta para conferir a sanidade de qualquer resposta com radical dentro.

Antes de arrastar: quais dois inteiros prendem $\sqrt{90}$, e de qual ela está mais perto? Depois cace $\sqrt{2}$ — a raiz mais famosa de todas. Então coloque o alvo em $49$ e sinta o marcador encaixar numa referência. Para qualquer outro alvo a caçada não termina nunca: $7.07^{2}$ fica um fio abaixo, $7.08^{2}$ um fio acima, e nenhum decimal que para dá exatamente $50$ ao quadrado. Guarde essa ideia — ela ganha nome duas seções abaixo.

Tirar quadrados de dentro de uma raiz

Quando o número sob a raiz não é um quadrado perfeito, ainda dá para desfazer o quadrado pela metade. Pela potência de um produto, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a})^{2}(\sqrt{b})^{2} = ab$ — então $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ é um número não negativo que ao quadrado dá $ab$, e essa é exatamente a definição de $\sqrt{ab}$. Aí está a regra do produto para radicais, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, que lida da direita para a esquerda deixa uma raiz se separar através de um produto. Separe um quadrado perfeito, e essa parte sai inteira:

Você não precisa enxergar o maior quadrado primeiro: tire $4$ — $\sqrt{48} = 2\sqrt{12}$ — e $12$ ainda esconde um $4$, então tire de novo e aterrisse no mesmo $4\sqrt{3}$. Toda rota chega ao mesmo destino; o maior quadrado só termina numa retirada só. (Nenhuma referência pulando aos olhos? Os átomos de F2 são a rede de segurança: $48 = 2^{4} \cdot 3$, e cada par de primos iguais é um quadrado disfarçado.) E por que se dar o trabalho, se a calculadora diz $6.93$? Porque $6.93$ é um arredondamento e $4\sqrt{3}$ é o número — exato, e o idioma em que as alternativas de resposta falam. Quando a fórmula quadrática começar a entregar radicais crus, é nesta habilidade que ela se apoia. Raízes cúbicas jogam o mesmo jogo com cubos perfeitos: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Assista ao movimento inteiro uma vez na lousa — retirada preguiçosa, caça e conferência — e depois faça você mesmo logo abaixo.

Simplifique $\sqrt{72}$ numa retirada só — qual ficha? Depois recomece e vá pelo caminho preguiçoso, começando com $4$, e conte as retiradas. Então experimente $\sqrt{30}$, e acredite na recusa: sem fator quadrado não há simplificação. (A aba √ Raízes e radicais tem um simplificador que mostra a rota dos átomos primos para qualquer número, raízes cúbicas incluídas.)

Raízes através de × e ÷ — mas nunca de + e −

A regra do produto também roda para a frente: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$ — duas raízes desgrenhadas se multiplicando num número inteiro. A divisão acompanha: $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5$, e a raiz de uma fração se separa em fração de raízes — $\sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}$, enquanto $\sqrt{\dfrac{7}{4}} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ fica exata com o $7$ ainda sob a raiz dele.

Raízes se somam de um jeito só — como contagens de um radical comum: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$, pela mesma razão que $2x + 5x = 7x$.

Variáveis dentro da raiz

As letras obedecem à mesma máquina, porque pares são quadrados: $\sqrt{x^{2}} = x$, e $\sqrt{x^{6}} = \sqrt{x^{3} \cdot x^{3}} = x^{3}$ — divida o expoente por dois, uma cópia fora por par. Um expoente ímpar deixa uma sobrando, $\sqrt{x^{5}} = x^{2}\sqrt{x}$, e números e letras saem separadamente: $\sqrt{9x^{2}} = 3x$. Uma nota de honestidade: tudo isso supõe que $x$ não é negativo — elevar ao quadrado apaga os sinais, então a raiz não consegue recuperá-los. Aqui (e em quase todo o trabalho com radicais do SAT) as variáveis sob raiz são tomadas como não negativas; a história completa com sinais precisa do valor absoluto, e pode esperar.

Que tipo de número é √2?

Afaste o zoom uma vez antes da última ferramenta. Você vem colecionando famílias de números por todos os fundamentos: os números de contar; o zero e os negativos completando os inteiros (F1); as razões de inteiros — os racionais — cujos decimais sempre terminam ou se repetem (F3, F4). $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ quebra o padrão: o decimal nunca termina e nunca se repete, porque $\sqrt{2}$ — dá para provar — não é razão de inteiros de jeito nenhum. Números assim são irracionais — a maioria das raízes é, e é exatamente por isso que $4\sqrt{3}$ ganha de qualquer decimal: é o único jeito de dizer o número exatamente. Racionais e irracionais juntos preenchem a reta numérica inteira: os números reais.

E uma pergunta que os reais não conseguem responder: $\sqrt{-9}$. Um quadrado nunca é negativo — positivo vezes positivo e negativo vezes negativo caem ambos no positivo (F1) — então nenhum número real ao quadrado dá $-9$. Quando uma equação exige um mesmo assim, o veredito honesto é sem solução real, palavras que você vai usar para trabalho de verdade em M3. (Os matemáticos construíram, sim, uma família ainda maior onde essa pergunta tem resposta — os números complexos, crescidos em volta de um número novo $i$ com $i^{2} = -1$ — mas essa história fica além da borda deste curso.)

Notação científica — domando números enormes e minúsculos

A Terra pesa cerca de $5{,}970{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000{,}000$ quilogramas, e uma molécula de água mede uns $0.000000000275$ metros de largura. Os dois números são quase só zeros — a única informação é uma cadeia curta de algarismos e a que distância do ponto decimal ela fica. A notação científica guarda exatamente esses dois dados: $a \times 10^{n}$, onde $a$ mantém um único algarismo diferente de zero antes do ponto e a potência de dez conta os saltos do ponto (os mesmos saltos que você contou em F4). $5300 = 5.3 \times 10^{3}$ — o ponto saltou $3$ para a esquerda. $0.00042 = 4.2 \times 10^{-4}$ — o ponto saltou $4$ para a direita, e aí está o seu expoente negativo significando pequeno, não negativo.

Converta $5300$, depois $0.00042$, e compare cada expoente com a sua contagem de saltos. Depois dê a ela a massa da Terra — digite os algarismos e conte os zeros você primeiro.

A única coisa para lembrar

Um expoente conta cópias numa multiplicação, e cada regra cai sozinha ao escrever as cópias: empilhar soma, cancelar subtrai, copiar a fila inteira multiplica — só com a mesma base — e descer o expoente divide pela base, por isso $a^{0} = 1$ e expoentes negativos significam pequeno. Uma raiz é o lado da área: prenda-a entre quadrados perfeitos para estimá-la, tire os fatores quadrados para simplificá-la ($\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$), deslize-a através de $\times$ e $\div$ mas nunca de $+$ nem $-$ — e quando nenhum número real conseguir fazer esse quadrado, diga: sem solução real.

O que um expoente significa

Um expoente é multiplicação repetida: $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. A base é o que é multiplicado; o expoente é quantas vezes.

As seis regras dos expoentes

Raízes

Uma raiz quadrada desfaz o quadrado: $\sqrt{49} = 7$ porque $7^{2} = 49$ — e o símbolo sempre significa a raiz não negativa. Uma raiz cúbica desfaz o cubo: $\sqrt[3]{27} = 3$. Os quadrados perfeitos $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ são as referências: para estimar, prenda o número entre duas delas ($49 < 50 < 64$, então $7 < \sqrt{50} < 8$).

As regras dos radicais

Para simplificar um radical, tire o maior fator que seja quadrado perfeito (o maior cubo perfeito para uma raiz cúbica): $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Tipos de números

Um quadrado nunca é negativo, então $\sqrt{-9}$ não tem solução real — a frase honesta quando uma equação pede a um quadrado que seja negativo.

Notação científica

Um jeito compacto de escrever números muito grandes ou muito pequenos: $a \times 10^{n}$ onde $a$ tem um algarismo diferente de zero antes do ponto. $5300 = 5.3 \times 10^{3}$; $\ 0.00042 = 4.2 \times 10^{-4}$. Um expoente positivo significa um número grande (o ponto andou para a esquerda); um expoente negativo significa um pequeno (o ponto andou para a direita).