Inequações lineares com uma variável

Quando a resposta é “até no máximo…”

De volta ao plano de celular uma última vez: $$20$ por mês mais $$3$ por gigabyte, e neste mês o seu orçamento é de $$35$. Quantos dados você pode bancar? Não “exatamente quantos”, mas até quantos. A pergunta em si não é uma equação; é uma restrição:

$20 + 3g \le 35$

Uma inequação troca o $=$ por $\lt$, $\gt$, $\le$ (“no máximo”) ou $\ge$ (“pelo menos”), e a resposta não é um único número, mas toda uma faixa. A vida real funciona com elas: limites de velocidade, alturas mínimas, notas de aprovação, orçamentos. Resolva esta com exatamente os movimentos de balança de A1 — subtraia $20$ dos dois lados ($3g \le 15$), divida por $3$ ($g \le 5$) — e a resposta é todo consumo de até cinco gigabytes. Numa reta numérica, isso não é um ponto; é uma semirreta sombreada.

Quase tudo se transfere de A1 sem mudança. Uma regra é nova, e é o jogo inteiro.

A regra de inverter — e por que você não tem escolha

Multiplique ou divida os dois lados por um número negativo e você tem que inverter o sinal da desigualdade. Aqui está a imagem que torna isso óbvio em vez de arbitrário: multiplicar por $-1$ reflete toda a reta numérica através do zero. Reflexos invertem esquerda e direita — o $2$ fica à esquerda do $4$, mas suas imagens espelhadas caem ao contrário: o $-2$ fica à direita do $-4$. Então qualquer "$\lt$" verdadeiro entre dois números tem que virar "$\gt$" entre seus negativos. Os números não têm escolha, então você também não.

Por que essa é a regra mais esquecida da álgebra? Porque as equações te treinaram a achar que negativos são inofensivos — em A1 você dividia por $-2$ o dia todo e a igualdade nunca se importou, já que a imagem espelhada de “igual” continua sendo “igual”. A ordem é o que os espelhos quebram, e as inequações são feitas de ordem. Na dúvida, faça a checagem de dois segundos: $-2 \lt 4$ é verdadeiro; divida os dois por $-2$ e, mantendo o sinal, você afirma $1 \lt -2$ — falso; inverta, $1 \gt -2$ ✓.

A regra também é usada demais, pela mesma razão nebulosa (“negativo… inverto alguma coisa?”). Somar ou subtrair um negativo nunca inverte — deslizar a reta inteira para a esquerda ou direita mantém a ordem de todos — e dividir por um positivo nunca inverte. Só um ×/÷ negativo levanta o espelho.

Aqui está a jornada inteira feita uma vez na lousa — resolver, inverter no negativo e depois desenhar a resposta como uma faixa:

Agora resolva uma você:

O resolvedor abre com $-2x + 1 \ge 9$. Preveja onde a inversão vai acontecer antes de ler os passos ($-1$ primeiro — sem inverter; depois $\div(-2)$ — inverte). Depois use o testador: jogue $-4$, depois $-5$, depois $0$, e veja quais caem dentro da faixa sombreada.

Representar: aberta ○ vs fechada ●

Para desenhar $x \le 5$: marque a fronteira, sombreie o lado verdadeiro e deixe a bolinha na fronteira dizer se o $5$ em si pertence. Um sinal “ou igual a” ($\le$, $\ge$) inclui a fronteira — fechada ●. Um sinal estrito ($\lt$, $\gt$) a exclui — aberta ○. Faixas estritas têm uma propriedade estranha e útil: $x \lt 6$ contém $5.9$, $5.99$, $5.999$… mas nenhuma solução maior, porque a própria fronteira é o único ponto que falta.

Fixe a fronteira em $6$ com $\lt$, depois mude para $\le$ e veja o extremo se preencher — um pixel de tinta, um número de diferença.

Inequações compostas — entre dois limites

Algumas restrições têm dois lados: uma encomenda só é enviada se o peso $w$ satisfizer $1 \lt w \le 20$ quilogramas. Uma cadeia como $-5 \le 2t + 1 \lt 11$ são só duas inequações que compartilham a expressão do meio — "$-5 \le 2t+1$" e "$2t + 1 \lt 11$" — então todo movimento de balança tem que atingir as três partes para manter as duas afirmações verdadeiras ao mesmo tempo. Subtraia $1$ das três: $-6 \le 2t \lt 10$. Divida as três por $2$: $-3 \le t \lt 5$ — um segmento, fechado numa ponta e aberto na outra. (E se você algum dia dividir uma cadeia por um negativo, os dois sinais se invertem e a cadeia muda de sentido.) Experimente estas na aba Compostas — suas fichas de exemplo incluem uma cadeia com $\div(-2)$.

Quando o x some

Assim como nas equações, os termos com $x$ podem se cancelar por completo. Leia o que sobra: uma afirmação sempre verdadeira ($5 \gt 1$) significa que todos os números reais a satisfazem; uma impossível ($5 \lt 1$) significa nenhuma solução. A lógica é a de A1, usando um sinal de desigualdade.

A única coisa para lembrar

Uma inequação se resolve como uma equação, mas a resposta é uma faixa, e faixas se importam com a ordem — então a única lei nova é a do espelho: multiplicar ou dividir os dois lados por um negativo reflete a reta numérica e inverte o sinal. As bolinhas de fronteira dizem se a borda em si conta, e uma cadeia composta são duas restrições que cada movimento precisa respeitar ao mesmo tempo.

O que muda em relação às equações

Uma inequação usa $\lt$ (menor que), $\gt$ (maior que), $\le$ (no máximo) ou $\ge$ (pelo menos) no lugar de $=$. A resposta não é um número — é toda uma faixa de números.

Você a resolve quase igual a uma equação: distribua, elimine as frações, reúna os termos semelhantes e desfaça as operações para isolar o $x$. Uma regra é nova, e é o jogo inteiro.

Exemplo resolvido — básico

$3x - 7 \lt 11$

Exemplo resolvido — a inversão

$-2x + 1 \ge 9$

Uma ótima checagem de segurança: escolha um número dentro da sua faixa e teste na original. $x = -5$ é $\le -4$, e $-2(-5) + 1 = 11 \ge 9$ ✓.

Representar numa reta numérica

Marque a fronteira e depois sombreie a direção que é verdadeira.

Com o $x$ à esquerda, maior ($\gt$ $\ge$) sombreia à direita, menor ($\lt$ $\le$) sombreia à esquerda.

Inequações compostas

Duas condições ao mesmo tempo.

• “E” (entre dois): escrita como uma cadeia, ex. $-1 \le 2x + 3 \lt 9$. Faça cada operação nas três partes. Subtraia $3$ das três: $-4 \le 2x \lt 6$. Divida as três por $2$: $-2 \le x \lt 3$. A solução é o segmento entre $-2$ e $3$.
• “Ou”: ex. $x \lt -1$ ou $x \gt 4$ — duas semirretas separadas indo em direções opostas.

Duas respostas especiais

Às vezes os termos com $x$ se cancelam por completo. Olhe o que sobrou: