O plano cartesiano e a inclinação

Dar aos números um lugar para morar

“Encontro você na esquina da Avenida 5 com a Rua 3.” Dois números, uma esquina exata — uma malha de cidade transforma qualquer localização num par de números, e esse truque é o plano cartesiano inteiro. Pegue a reta numérica que você usa desde F1, atravesse outra por cima na vertical e deixe as duas se cruzarem no zero: o eixo x horizontal, o eixo y vertical, se encontrando na origem $(0, 0)$. Agora cada ponto da página tem um endereço, um par ordenado $(x, y)$: primeiro x (o quanto para o lado, esquerda ou direita), depois y (o quanto para cima ou para baixo). Diga como “para o lado, depois para cima”.

A ordem é pura convenção — nada no $3$ o torna mais “horizontal” que o $5$ — e é justamente por isso que $(3, 5)$ e $(5, 3)$ são tão fáceis de trocar: os dois números não trazem rótulos visíveis. A convenção é alfabética ($x$ antes de $y$) e universal, então grave o hábito agora, enquanto é barato. Os eixos também fatiam o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir do canto superior direito.

Marque $(3, 5)$, depois $(5, 3)$ — lugares genuinamente diferentes. Depois experimente $(0, -4)$: um ponto que está sobre um eixo não pertence a quadrante nenhum.

Inclinação: o quão íngreme como número

Os códigos de obra dizem que uma rampa para cadeira de rodas pode subir no máximo $1$ polegada a cada $12$ polegadas que ela avança. Esse ”$1$ a cada $12$” é uma taxa — o raciocínio de taxa unitária de F6 — e desenhá-lo na malha dá à taxa uma forma: uma reta cuja inclinação é o número. A inclinação (escrita $m$) é exatamente isso:

$m = \dfrac{\text{subida}}{\text{avanço}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Concretamente: uma reta em forma de escada passa por $(2, 1)$ e $(6, 9)$. Indo do primeiro ponto ao segundo, você percorre $9 - 1 = 8$ para cima (a subida) enquanto cobre $6 - 2 = 4$ para o lado (o avanço): a inclinação é $\frac{8}{4} = 2$ — duas unidades de subida por unidade de avanço, em toda a reta.

Uma disciplina mantém a fórmula honesta: subtraia na mesma ordem em cima e embaixo. Subida e avanço são trajetos com sinal — para cima ou para baixo, para frente ou para trás — feitos entre os mesmos dois pontos. Misture a ordem ($\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$) e você terá medido a subida numa ida mas a distância na volta: para a nossa escada isso dá $\frac{8}{-4} = -2$, chamando de descida uma reta que sobe.

Aqui está o cálculo inteiro feito uma vez no quadro — desta vez com uma inclinação fracionária, trabalhada de dois pontos até a própria reta:

Agora é a sua vez no mesmo triângulo:

O cateto verde-sálvia é o avanço (horizontal); o cateto terracota é a subida. Arraste $B$ para cima e preveja a inclinação antes de o resultado se firmar; depois arraste $B$ abaixo de $A$ e veja o sinal ficar negativo enquanto o triângulo se vira.

Os quatro tipos de inclinação

• Positiva ↗ — subindo da esquerda para a direita (subida e avanço têm o mesmo sinal).
• Negativa ↘ — descendo (subida e avanço têm sinais opostos).
• Zero — — uma reta horizontal plana: a subida é $0$, então $m = 0$.
• Indefinida | — uma reta vertical: o avanço é $0$, e dividir por zero não tem resposta.

A confusão clássica são as duas últimas, e a linguagem do dia a dia é a culpada: de uma estrada plana e de um muro vertical dá para dizer que “não têm inclinação”. Mas são opostos. Uma estrada plana tem uma inclinação perfeitamente boa — zero, um número real por onde você poderia andar o dia todo. Um muro vertical quebra a própria pergunta: sem nada de avanço, “subida por avanço” divide por zero, e a inclinação é indefinida. Plano é um zero; vertical é um dar de ombros. Toque nas fichas de exemplo na ferramenta acima (positiva ↗, negativa ↘, zero —, indefinida |) e confira cada triângulo.

Cortes com os eixos — onde a reta encontra os eixos

Dois pontos de qualquer reta importam mais que o resto: onde ela cruza o eixo y (o corte com y, um ponto $(0, b)$) e onde cruza o eixo x (o corte com x, $(a, 0)$). O sistema de endereços te diz como achá-los: todo ponto do eixo y tem $x = 0$, então ponha a outra variável em zero. E os cortes significam coisas. Se uma reta representa a sua conta de celular contra os dados usados — subindo $$3$ por gigabyte — o corte com y é a conta com consumo zero: a taxa fixa de $$20$, pousada sobre o eixo antes de a reta sequer começar a subir. A Calculadora de inclinação lê os dois cortes a partir de dois pontos quaisquer.

A única coisa para lembrar

Um ponto é um endereço — para o lado, depois para cima. A inclinação de uma reta é uma taxa com forma: subida sobre avanço, subtraídas na mesma ordem, positiva subindo, negativa descendo, zero plana, indefinida vertical. E os cortes são onde a reta conta a sua história aos eixos: ponha a outra variável em zero para ouvi-la.

O plano cartesiano

Duas retas numéricas se cruzam na origem $(0, 0)$: o eixo x horizontal e o eixo y vertical. Qualquer ponto é nomeado por um par ordenado $(x, y)$ — primeiro x (esquerda/direita), depois y (cima/baixo). “Para o lado, depois para cima”.

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir do canto superior direito:

Inclinação — o quão íngreme é uma reta

A inclinação $m$ é a subida sobre o avanço: o quanto a reta sobe (a subida, a variação de $y$) para o quanto ela avança (o avanço, a variação de $x$).

$m = \dfrac{\text{subida}}{\text{avanço}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Rotule os seus dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, e depois subtraia na mesma ordem em cima e embaixo.

Exemplo resolvido — por $(1, 2)$ e $(4, 8)$

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Os quatro tipos de inclinação

Cortes com os eixos

Onde uma reta cruza um eixo:

• Corte com y — onde ela cruza o eixo y. Aqui $x = 0$. Escrito como o ponto $(0, b)$.
• Corte com x — onde ela cruza o eixo x. Aqui $y = 0$. Escrito como o ponto $(a, 0)$.

Para achar um corte, ponha a outra variável em $0$. Eles aparecem o tempo todo nas próximas unidades sobre retas e funções.