Ecuaciones cuadráticas

El cero es el único número que confiesa

Imagina que te digo que dos números escondidos multiplican a $12$. ¿Cuáles son? Podrían ser $3$ y $4$. O $2$ y $6$, o $-1$ y $-12$, o $\tfrac12$ y $24$ — no sabes casi nada. Ahora imagina que te digo que multiplican a $0$. De golpe sabes algo con certeza: uno de ellos es cero. No existe otra manera de armar un producto que dé cero. El doce guarda secretos; el cero confiesa.

Esa única confesión es la razón por la que M2 te enseñó a factorizar. Una ecuación como $x^2 + 5x + 6 = 0$ hace una pregunta genuinamente difícil — ¿cuál $x$ hace que toda la expresión se desplome hasta la nada? — y la forma factorizada la contesta casi por accidente.

Producto cero: a la factorización por fin le pagan

El examen muchas veces se salta la factorización y te entrega la confesión ya hecha: $(x - 3)(x + 5) = 0$, resuelve. Lee las raíces directo — cada paréntesis muere en el valor que lo vuelve cero: $x = 3$ y $x = -5$. Fíjate que los dos signos quedaron volteados. El factor $(x - 3)$ tiene raíz $+3$; contestar $-3$ es exactamente el error que el examen está pescando.

Cuando la búsqueda no encuentra nada

M2 te dejó una promesa sobre $x^2 + 6x + 2$: ningún par de enteros multiplica a $2$ y suma $6$, pero completar el cuadrado igual lo reescribe como $(x+3)^2 - 7$. Mira lo que eso te compra en cuanto aparece un signo de igual:

$x^2 + 6x + 2 = 0 \;\;\Rightarrow\;\; (x+3)^2 - 7 = 0 \;\;\Rightarrow\;\; (x+3)^2 = 7$

Ahora la pregunta es una para la que terminaste de entrenar en F7: ¿qué elevado al cuadrado da $7$? Dos números lo hacen — $\sqrt{7}$ y $-\sqrt{7}$. Ahí nace el famoso $\pm$: no del símbolo $\sqrt{\phantom{7}}$ (que siempre significa la raíz positiva), sino de la ecuación, porque ambos signos elevan al mismo cuadrado:

$x + 3 = \pm\sqrt{7} \;\;\Rightarrow\;\; x = -3 \pm \sqrt{7}$

Dos respuestas exactas, sin factorizar nada. Y nada en esta movida necesitaba números amables — completar el cuadrado resuelve cualquier cuadrática. Lo cual abre una pregunta hermosamente perezosa: si la receta siempre funciona, ¿para qué correrla desde cero cada vez?

La fórmula general: completar el cuadrado, una vez y para siempre

Corre exactamente la misma receta sobre $ax^2 + bx + c = 0$ — con las letras puestas, nada nuevo — y sale la respuesta de la receta, ya empacada:

Eso es todo lo que es la fórmula general: completar el cuadrado, ejecutado una sola vez en general para que nadie tenga que repetirlo jamás. Mira la construcción completa en la pizarra — cada paso con su nombre, desde $ax^2 + bx + c = 0$ hasta la fórmula enmarcada:

Cada pieza tiene lugar de nacimiento — el $-b$ y el $2a$ vienen del pliegue de “la mitad del medio”, y $b^2 - 4ac$ es lo que le sobra al cuadrado. Úsala sobre el trinomio que M2 declaró infactorizable, $x^2 + 3x + 1 = 0$: aquí $a = 1$, $b = 3$, $c = 1$, así que

$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

El callejón sin salida del deslizador de M2 — abierto en dos líneas.

Simplifica la respuesta — F7 era el entrenamiento para este momento

Resuelve $x^2 + 4x - 8 = 0$. La fórmula da $b^2 - 4ac = 16 + 32 = 48$, así que

$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{48}}{2}$

F7 te enseñó a nunca dejar $\sqrt{48}$ sin abrir — y se detuvo a propósito en $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$, declarando la siguiente movida propiedad de M3. Esta es esa movida:

$x = \dfrac{-4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2\left(-2 \pm 2\sqrt{3}\right)}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}$

Mira fijo el paso del medio. Cancelar una fracción divide factores del numerador completo — y $-4 \pm 4\sqrt{3}$ es una suma, no un producto, así que el $2$ debe factorizarse de cada término antes de poder cancelarse. El atajo tentador — cancelar el $-4$ contra el $2$, dejar el $4\sqrt{3}$ intacto, escribir $-2 \pm 4\sqrt{3}$ — se siente natural justo porque funciona en fracciones de un solo término. Aquí cambia la respuesta, y el examen lo pone entre las opciones cada vez.

Prueba la movida tú mismo — elige divisores y mira cuáles términos cooperan:

Predice antes de hacer clic: en el atajo de $x^2+4x-8$, ¿pasará el ÷3? Decide qué término se niega, luego haz clic y compruébalo. Después carga $4x^2 - 4x - 1$ — arriba y abajo comparten un $4$: ¿importa si lo tomas en un solo bocado de ÷4 o en dos de ÷2? Y $x^2 + 3x + 1$ termina en un lugar importante: sin nada que dividir. $\tfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ está terminado — un denominador no es mugre, y reconocer el “ya está” vale puntos.

El discriminante: cuenta las respuestas sin encontrarlas

Aquí va el giro favorito del examen: “¿Cuántas soluciones reales tiene $2x^2 - 5x + 7 = 0$?” — y resolverla sería caer en la trampa. Mira la anatomía de la fórmula. El $-b$ y el $2a$ son andamiaje fijo; la única parte que puede cambiar cuántas respuestas existen es la pieza bajo la raíz, $b^2 - 4ac$, el discriminante:

• $b^2 - 4ac > 0$: la raíz es un número real positivo — el $\pm$ reparte dos respuestas distintas.
• $b^2 - 4ac = 0$: la raíz es $0$ — el $\pm$ no suma ni resta nada — exactamente una respuesta.
• $b^2 - 4ac < 0$: necesitarías $\sqrt{\text{negativo}}$, y F7 lo dijo sin rodeos: ningún número real al cuadrado da negativo. Sin solución real — y eso es una respuesta completa y correcta, no un fracaso.

Entonces: $(-5)^2 - 4(2)(7) = 25 - 56 = -31 < 0$. Cero soluciones reales, diez segundos, sin resolver. (Cuando conozcas las parábolas en M4, vas a ver estos tres casos como una curva que cruza, toca o esquiva el eje $x$. Por ahora la recta numérica cuenta la historia completa.)

Predice antes de arrastrar: el atajo inicial es $x^2 + 2x - 3 = 0$, gemelas en $-3$ y $1$. Arrastra $c$ hacia arriba un paso a la vez — cada paso le drena $4$ al discriminante. ¿En qué $c$ se besan las gemelas? Compruébalo con álgebra: $b^2 - 4ac = 4 - 4c = 0$ en $c = 1$. Ese arrastre era la pregunta del examen de “halla $k$ para que la ecuación tenga exactamente una solución” — tu mano resolvió $b^2 - 4ac = 0$ antes que tu lápiz. Luego carga $x^2 - 6x + 7$ y lee las etiquetas exactas de las gemelas: $3 \pm \sqrt{2}$, las respuestas de la fórmula viviendo en la recta. Y nota, a lo largo de cada arrastre: las gemelas nunca abandonan su punto de equilibrio $-\tfrac{b}{2a}$ — el $\pm$ las reparte parejo a su alrededor.

Suma y producto: respuestas sobre las respuestas

Esa simetría tiene valor en efectivo. Suma las dos respuestas de la fórmula y las mitades del $\pm$ se matan entre sí:

$\dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}$

Así que cuando el examen pregunta “¿cuál es la suma de las soluciones de $2x^2 - 8x + 3 = 0$?”, está midiendo si vas a gastar minuto y medio resolviendo — o a leer $-\tfrac{b}{a} = \tfrac{8}{2} = 4$ directo de los coeficientes. (El producto colapsa igual, a $\tfrac{c}{a}$.) Las respuestas nunca estuvieron escondidas; estaban codificadas en la ecuación todo el tiempo — la misma lección que la búsqueda del par enseñó en M2, un piso más arriba.

La única cosa para recordar

Deja el cero solo de un lado — solo el cero confiesa. Si el lado izquierdo se factoriza, cada factor te entrega una raíz. Si no, la fórmula es completar el cuadrado ya hecho: lee $a$, $b$, $c$ con sus signos, simplifica la raíz al estilo F7, y reduce cada término o ninguno. Y cuando la pregunta es solo cuántas, no resuelvas — el discriminante $b^2 - 4ac$ lo sabía antes que tú.

El árbol de decisiones

El discriminante $D = b^2 - 4ac$: $\;D > 0$ → dos soluciones reales. $\;D = 0$ → exactamente una. $\;D < 0$ → sin solución real. “Exactamente una solución” en un enunciado es código de plantea $b^2 - 4ac = 0$ y despeja el coeficiente desconocido.

Forma radical más simple: simplifica la raíz ($\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$), y luego divide los tres: $-b$, el coeficiente de la raíz y $2a$, entre su factor común.