Sistemas no lineales y transformaciones

Dos gráficas, un plano

Pon una parábola y una recta en la misma cuadrícula y una pregunta se escribe sola: ¿se encuentran? Una solución de un sistema es un punto que hace verdaderas ambas ecuaciones a la vez — que en una gráfica significa un punto que está en las dos curvas (la idea de A6, ahora con una curva de por medio). La eliminación aquí no sirve — no puedes cancelar un $x^2$ contra una $x$ — pero nada te impide notar que en un punto compartido, las dos recetas para $y$ tienen que producir el mismo número:

Comprueba cualquiera de los dos puntos contra la parábola y coincide — eso es lo que significa “en ambas gráficas”. Una sustitución, y toda pregunta de recta-contra-curva del SAT se abre de la misma manera.

Un solo número cuenta los cruces

Aquí el discriminante de M3 se gana una segunda vida. La ecuación $x^2 - 6x + 8 = 0$ tenía $D = b^2 - 4ac = 36 - 32 = 4$ — positivo, dos soluciones, dos cruces. Pero nada obligaba a la recta a cruzar dos veces. Deslízala hacia abajo y los dos puntos compartidos resbalan uno hacia el otro; a exactamente una altura se funden en un solo roce; más abajo, ningún contacto. Algebraicamente eso es solo $D$ pasando por cero: $D > 0$ se cruzan, $D = 0$ se rozan, $D < 0$ no se tocan. El discriminante deja de contar raíces y empieza a contar intersecciones.

Abre en el sistema de arriba, cruces en $(2, 1)$ y $(4, 5)$. Los dos puntos verdes tienen una sola altura donde se encuentran — predice su $k$ antes de arrastrar, luego baja el punto k un paso a la vez y mira a $D$ encogerse: $4$, luego $0$ — el roce, en $(3, 2)$ — y luego negativo, y los puntos ya no están. Prueba también abre hacia abajo: con la parábola colgando, es arrastrar la recta hacia arriba lo que la hace fallar.

La k que pide el SAT

“¿Para qué valor de $k$ la recta $y = 2x + k$ interseca $y = x^2 - 4x + 5$ en exactamente un punto?” — el disfraz favorito del examen para todo lo anterior. Corre la misma sustitución con $k$ dejada como letra: $x^2 - 6x + (5 - k) = 0$. Exactamente una intersección significa exactamente una solución, y eso es una condición sobre el discriminante: $(-6)^2 - 4(1)(5 - k) = 0$, así que $36 - 20 + 4k = 0$, así que $16 + 4k = 0$ y $k = -4$ — precisamente la altura donde tu arrastre encontró el roce.

¿Y dos curvas? Enfrenta $y = x^2 - 2x + 3$ con $y = x^2 + 4x - 9$: las recetas iguales, $x^2 - 2x + 3 = x^2 + 4x - 9$ — y ambos lados llevan el mismo $x^2$, así que restar borra los cuadrados por completo: $-6x + 12 = 0$, $x = 2$, y cualquiera de las dos curvas da la altura $y = 3$. El sistema de aspecto temible era secretamente lineal.

Cualquier gráfica, cuatro movimientos

La segunda mitad de esta unidad es una gramática — cuatro ediciones pequeñas a la fórmula de una función, cada una con un significado geométrico fijo. Ya la viste una vez en un disfraz especial: la forma de vértice deslizando una parábola (la historia de M4). El giro del SAT es que la gramática funciona sobre cualquier gráfica, incluidas las que te entregan sin fórmula alguna. Supón que solo sabes que $(2, 5)$ está en la gráfica de $f$, y $g(x) = f(x - 1) + 3$. ¿Qué punto tiene que estar en $g$?

Los cuatro movimientos, entonces: $f(x) + k$ desliza la gráfica $k$ hacia arriba; $a \cdot f(x)$ estira cada altura por $a$; $-f(x)$ la voltea sobre el eje x — los tres actúan sobre la salida, así que hacen exactamente lo que dicen. Solo $f(x - h)$ es tramposo: actúa sobre la entrada, y los cambios de entrada corren al revés — menos adentro significa derecha.

Abre con la copia acostada sobre su fantasma punteado y el letrero en $g(x) = f(x)$. Antes de arrastrar: lleva el punto $3$ a la derecha — ¿qué dirán los paréntesis, más o menos? Comprueba, luego arrastra $2$ hacia arriba y mira el $+2$ caer afuera. Ahora reinicia y toca − voltear: el punto gris marcado de $f$ es $(3, -2)$ — predice dónde tiene que aterrizar el punto verde antes de mirar. Voltear más ×2 lo manda a $(3, 4)$; la línea del mapeo hace la aritmética contigo.

Lo único que hay que recordar

Un punto compartido hace verdaderas ambas ecuaciones, así que iguala las dos recetas para $y$ — una sustitución convierte cualquier sistema recta–curva en una sola cuadrática, cuyo discriminante cuenta los cruces antes de resolver: no se tocan, se rozan, se cruzan. Y cualquier gráfica, con fórmula o sin ella, se mueve con cuatro ediciones pequeñas: afuera de los paréntesis es honesto con $y$, adentro es al revés con $x$.

Recta contra curva

Resolver el sistema: iguala las dos expresiones para $y$ → pásalo todo a un lado → resuelve la cuadrática → saca cada $y$ de la recta. Responde con el punto o los puntos — el SAT suele pedir una coordenada.

“¿Para qué $k$ … exactamente un punto?”: deja $k$ como letra, iguala a $0$ el discriminante de un solo lado y despeja $k$. Es exactamente la misma condición que “exactamente una solución”.

Dos parábolas con el mismo coeficiente de $x^2$: igualarlas cancela los cuadrados — el sistema es lineal. Resuelve la ecuación de un paso; la altura sale de cualquiera de las dos curvas.

Los cuatro movimientos

Regla del punto: $(x, y)$ en $f$ $\Rightarrow$ $(x + h,\; a\,y + k)$ en $g$. Inviértela para regresar un punto de $g$ hasta $f$: $(x - h,\; (y - k)/a)$.