Funciones cuadráticas y parábolas

Una cuadrática es una forma

Tira una pelota. Traza el chorro de una fuente. Sigue a un clavadista desde el trampolín hasta el agua. Cada uno de esos caminos es la misma forma — una parábola — y toda parábola es el dibujo de una cuadrática. En M2 aprendiste a manejar $x^2 + 5x + 6$ como una expresión para factorizar; en M3 aprendiste a resolverla cuando vale cero. Este módulo le da un cuerpo a esa expresión: conviértela en una función $f(x) = x^2 + 5x + 6$, grafica cada entrada contra su salida, y obtienes una curva que se puede leer.

La cuadrática más simple, $y = x^2$, es la parábola madre: una U simétrica que apoya su fondo en el origen. Toda otra parábola es esa misma U, movida y reescalada. El número de adelante $a$ hace dos trabajos a la vez: su signo decide hacia dónde abre la U — positivo es una sonrisa (un punto más bajo), negativo es un ceño (un punto más alto) — y su tamaño decide qué tan angosta es. Un $|a|$ grande aprieta la U; uno pequeño la deja abrirse muy ancha. Ese único coeficiente es la razón de que una cuadrática despegue empinada y otra se abra suave.

Tres formas, tres pares de anteojos

Aquí está la idea sobre la que gira todo el módulo. Una parábola se puede escribir de tres maneras, y todas son la misma curva — los mismos puntos, el mismo dibujo. Lo que cambia es qué dato te entrega cada una gratis, como un número que lees directo sin hacer cuentas. Son tres pares de anteojos sobre una sola forma.

• La forma de vértice $a(x - h)^2 + k$ muestra el punto de giro. El vértice — el pico o el valle — está en $(h, k)$, ahí mismo en las constantes.
• La forma factorizada $a(x - r_1)(x - r_2)$ muestra los cortes con x. La gráfica cruza el eje en $r_1$ y $r_2$.
• La forma estándar $ax^2 + bx + c$ muestra el corte con y. Pon $x = 0$ y cada término con $x$ desaparece, así que la curva cruza el eje y en $c$.

Supón que un problema te da la forma estándar y pide el vértice. Conviertes a la forma que lo muestra — completando el cuadrado, la jugada de M2, ahora con un $a$ que cargar:

La forma factorizada es la cara opuesta. Si $f(x) = (x - 3)(x + 1)$, la gráfica cruza donde cada factor es cero: en $x = 3$ y $x = -1$. Fíjate que los dos signos se voltearon — el paréntesis $(x - 3)$ se hace cero en $+3$, no en $-3$. Ese cambio de signo es el mismo que M3 te advirtió al leer raíces de la forma factorizada, y da puntos cada vez.

Siente las tres a la vez arrastrando. En Estudio de parábolas, mueve el vértice y mira cómo se reescribe cada forma, luego toca una forma para encender el dato que le pertenece.

Predice antes de tocar: carga solo toca, y luego toca “los cortes con x”. ¿Cuántos puntos de cruce se encienden? Ahora arrastra el vértice un paso hacia abajo — ¿aparecen los dos cruces, y cuánto marca ahora $b^2 - 4ac$? Después toca “el vértice” y arrastra de lado: solo los números de la forma de vértice deberían seguir tu mano limpiamente, porque esa es la forma hecha para rastrearlo.

Donde la parábola toca el eje

M3 te prometió que aquí verías el discriminante, y aquí está. Los cortes con x son exactamente las soluciones de $f(x) = 0$ — así que cuántas veces cruza una parábola el eje x es cuántas soluciones reales tiene su ecuación, el veredicto $b^2 - 4ac$ que ya conocías:

• $b^2 - 4ac > 0$: dos soluciones reales, así que la parábola cruza el eje dos veces.
• $b^2 - 4ac = 0$: una solución, así que la parábola solo toca el eje — su vértice se posa exactamente sobre él.
• $b^2 - 4ac < 0$: sin solución real, así que la parábola no llega al eje, flotando por arriba o por abajo.

Levanta $y = x^2$ sumándole — $x^2$, luego $x^2 + 1$, luego $x^2 + 4$ — y ves a sus dos cruces deslizarse juntos, besarse, y despegar del eje. Los tres casos que M3 contó son tres alturas de la misma curva. Míralo pasar en la pizarra:

Toda parábola es además simétrica de espejo respecto a una recta vertical que pasa por su vértice: el eje de simetría, $x = -\tfrac{b}{2a}$. Esa fórmula es el camino más rápido a un vértice que vas a necesitar — halla el eje, y luego mete ese $x$ de vuelta en la función para la $y$. También es por eso que los dos cortes con x, cuando existen, siempre están a un paso igual a cada lado del vértice: el $\pm$ de la fórmula de M3 los reparte parejo alrededor de $-\tfrac{b}{2a}$, el mismo punto de equilibrio que las gemelas nunca dejaron en el Laboratorio del discriminante.

La otra dirección — construir una parábola a partir de instrucciones — es donde la forma de vértice de verdad brilla. Lee $a(x - h)^2 + k$ como una receta aplicada a la madre $y = x^2$: desplaza $h$ a la derecha, sube $k$, estira por $a$ (y voltea si $a$ es negativo). Desplaza y estira te deja mover esos tres controles y ver moverse a la madre.

Predice antes de deslizar: pon $h$ en $+3$. El paréntesis ahora dice $x - 3$ — un menos — así que ¿hacia dónde se fue la curva? (A la derecha — la trampa de antes, ahora bajo tu dedo.) Luego empuja $a$ más allá de cero hacia los negativos y mira la sonrisa volverse ceño; deslízalo a $\tfrac12$ y mira la U abrirse ancha.

Lo único que hay que recordar

Una parábola es una sola forma que puedes escribir de tres maneras, y eliges la forma que ya muestra lo que te piden: forma de vértice para el pico o el valle, factorizada para los cruces, estándar para el inicio en y. Cuando solo necesitas cuántas veces cruza, no grafiques — el discriminante $b^2 - 4ac$ te lo dice, igual que en M3. Y el eje de simetría $x = -\tfrac{b}{2a}$ siempre es el atajo de vuelta al vértice.

Elige la forma que muestra lo que necesitas

Apertura y ancho: $a > 0$ abre hacia arriba (un punto más bajo, un mínimo); $a < 0$ abre hacia abajo (un punto más alto, un máximo). Un $|a|$ mayor es más angosto, uno menor más ancho.

Cuántos cortes con x — el discriminante, sin graficar: $\;b^2 - 4ac > 0$ → dos (cruza). $\;= 0$ → uno (toca en el vértice). $\;< 0$ → ninguno (no llega al eje).

Completa el cuadrado (a ≠ 1) para llegar a la forma de vértice: saca $a$ de los términos con $x$, suma y resta $\left(\tfrac{b/a}{2}\right)^2$ adentro, y saca el sobrante multiplicado por $a$.