Expresiones polinómicas y racionales

La operación que a los polinomios todavía les faltaba

Divide $17$ entre $5$ y sale $3$ con $2$ de sobra. Antes de seguir, fíjate en lo que esa frase realmente afirma: $17 = 5 \cdot 3 + 2$. La división con resto es un hecho sobre la multiplicación — el divisor por el cociente, más un sobrante demasiado chico para seguir dividiendo. Sumar, restar y multiplicar polinomios ya lo sabes hacer (eso es lo que vuelve tuya una expresión como $6x^2 + 5x - 4$ — todo el juego de M1). La división es el engranaje que faltaba, y funciona exactamente como el $17$ y el $5$:

Escrito de vuelta como multiplicación, igual que con los números:

Esa segunda forma merece que la mires fijo, porque al SAT le encanta: “¿cuál de las siguientes es equivalente a $\frac{6x^2+5x-4}{2x+3}$?” es esta división disfrazada. La fracción del sobrante sobre el divisor es la pista.

El atajo escondido en la identidad

Ahora divide entre algo más simple — un $x - a$ mónico — y mira la identidad con ojo de detective:

El resto $r$ es una constante (tiene que tener grado menor que $x - a$). Y esta ecuación vale para todo $x$ — incluido $x = a$. Ponla ahí y mira morir la primera pieza: $(a - a)\,q(a) = 0$, quedando $p(a) = r$. Léelo otra vez: el resto es simplemente el valor del polinomio en $a$. Sin dividir nada. Toma $p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ dividido entre $x - 2$:

$p(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$

Una sustitución, y ya conoces el sobrante de toda una división en largo: resto $-4$. Ese es el teorema del resto, y en el SAT es un arma de velocidad — la pregunta dice “se divide entre”, la solución es una sustitución.

El Dial del resto vuelve físico el teorema: el resto es una altura.

El dial abre exactamente en la división de arriba — la cúbica, dividida en $a = 2$, barra en $-4$. Predice antes de arrastrar: la curva parece cruzar el eje cerca de $x = 3$. Si de verdad cruza, ¿cuánto tiene que dar el resto de dividir entre $x - 3$? Arrastra el punto hasta ahí y mira la barra. Luego caza los otros dos cruces ($x = 1$ y $x = -2$), y al final carga nunca cae: esa curva se niega a tocar el eje, así que ningún $a$ entero mata el resto — $p$ no tiene ningún factor de la forma $x - a$.

Un resto cero es un certificado

Lo que acabas de sentir tiene nombre. Si $p(a) = 0$, el resto de dividir entre $x - a$ es cero — la división sale exacta, así que $x - a$ es un factor de $p(x)$, y la gráfica cruza el eje en $a$. Tres afirmaciones, un solo hecho. El disfraz favorito del SAT es una tabla:

“¿Cuál de los siguientes tiene que ser un factor de $p$?” La tabla lo susurra: $p(1) = 0$, así que $x - 1$ divide exacto. Ojo con el signo — un cero en $x = -4$ certifica el factor $x - (-4) = x + 4$. Más adentro, para un cero del lado negativo.

Fracciones hechas de polinomios

Los números se reducen por factores compartidos: $\dfrac{6}{8}$ es $\dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$, los $2$ se cancelan, queda $\dfrac{3}{4}$. Una expresión racional es una fracción cuyo arriba y abajo son polinomios, y juega con la misma regla — más una ley extra que los números nunca necesitaron. Este es el disfraz habitual del SAT:

Los puntos que siguen prohibidos — muros y agujeritos

Los dos valores prohibidos son indefinidos, pero fallan de dos maneras muy distintas, y el SAT pregunta por la diferencia. En $x = 2$ el abajo reducido $x - 2$ sigue muriendo: justo al lado de $2$, el de arriba anda cerca de $-1$ mientras el de abajo es diminuto — y un número distinto de cero dividido entre uno diminuto es enorme. La gráfica se dispara por una asíntota vertical: un muro que escala para siempre y nunca toca. En $x = -2$ el factor culpable se canceló — cerca de ahí, la expresión se comporta exactamente como $\frac{x-3}{x-2}$, acercándose tranquilamente a $\frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}$. La gráfica es una curva suave con un solo punto ausente: un hueco. Cancelar quitó el muro. No quitó la prohibición.

Abre con la fracción exacta de arriba. Predice antes de tocar: ¿cuál $x$ prohibido tiene el muro punteado, y cuál el círculo abierto? Ahora apaga el $(x+2)$ de la fila de arriba — el $(x+2)$ de abajo acaba de perder a su pareja de cancelación, así que ¿qué tiene que reemplazar al agujerito en $x = -2$? Compruébalo, vuelve a encenderlo y arrastra la sonda desde $x = 1$ hacia el muro en $2$ leyendo los valores: la tira sigue partiendo tu distancia a la mitad, y los valores casi se duplican cada vez — sin techo. Estaciona la sonda cerca del agujerito y la misma tira se asienta tranquila hacia $\frac{5}{4}$. Dispararse contra asentarse: tus manos ya conocen la diferencia que el vocabulario está nombrando.

Lo único que tienes que recordar

La división deja una huella: $p(x) = (x-a)\,q(x) + r$, y poner $x = a$ lee la huella sin dividir — $r = p(a)$, y $r = 0$ certifica un factor. Las fracciones de polinomios se reducen como las de números — solo por factores completos — y los ceros del denominador quedan prohibidos antes de que empiece la cancelación: un factor que sobrevive abajo es un muro, uno cancelado deja un agujerito.

La división y sus dos teoremas

División en largo: divide los términos líderes → multiplica de vuelta → resta → repite. La forma “expresión equivalente” del SAT: $\dfrac{p}{d} = q + \dfrac{r}{d}$.

Chequeo de signo: un cero en $x = -4$ da el factor $x + 4$. Cero negativo, signo de adentro positivo.

Expresiones racionales

Simplificar: factoriza arriba y abajo → anota cada $x$ que anula el de abajo → cancela factores compartidos completos → conserva las prohibiciones.

Indefinida: exactamente donde el denominador es $0$ — incluidos los factores que se cancelan.

En un hueco, el valor ausente es la expresión reducida evaluada ahí.