Funciones exponenciales

Sumar contra multiplicar

Dos personas te ofrecen un trato por los próximos doce días. La primera te da $$50$ hoy y otros $$50$ cada día. La segunda te da un centavo hoy, y cada día promete duplicar lo que te dio ayer.

La primera semana el primer trato es obviamente mejor — llevas cientos de dólares mientras la segunda persona todavía te pasa monedas. Después el duplicar la alcanza, y para el día doce no hay comparación. Y el segundo trato nunca se aceleró: la regla nunca cambió. Fue multiplicar por dos, todos los días, desde el principio.

De eso trata todo este módulo. A5 te dio una máquina que suma la misma cantidad en cada paso — una función lineal, con una tasa que puedes leer en una tabla. Esta multiplica por la misma cantidad en cada paso. F7 ya te enseñó qué significa $b^x$ cuando $x$ era un número dado; ahora $x$ es la entrada, y el exponente cuenta los pasos.

La tabla te lo dice

Esta es la destreza que el examen pide una y otra vez, casi nunca avisándote de qué tipo de función estás viendo. Te dan una tabla y tienes que decidir.

La prueba son dos columnas. Resta cada fila de la siguiente: si esa diferencia es la misma siempre, se está sumando algo una y otra vez, y es lineal. Si no, divide cada fila entre la anterior. Si eso sale igual siempre, se está multiplicando una y otra vez, y es exponencial.

Antes de tocar las columnas, mira las dos ofertas en el tablero — cinco dólares por adelantado, o un dólar que se duplica — y elige una antes de que caiga el cuarto día.

Las dos columnas viven lado a lado en Tabla de razones, con una etiqueta sobre la que se volvió constante.

Predice antes de cambiar: pon la regla en suma con una cantidad de $100$ y mira la tabla — sube de cien en cien, que se siente dramático. ¿Qué columna tiene la etiqueta? Ahora cambia la regla a multiplica por y mira cómo salta. Después prueba Nombra la tabla y decide la segunda antes de leer las columnas; es la trampa de abajo, disfrazada de tabla.

Qué hace cada letra

Todas las funciones de este módulo tienen la misma forma de dos partes:

$a$ es la cantidad inicial — el valor antes de que pase nada. Eso sale directo de la regla de F7 de que $b^0 = 1$: pon $x = 0$ y toda la potencia se colapsa a uno, dejando $f(0) = a$. Así que cuando una pregunta te muestra $f(x) = 500(1.08)^x$ y te pregunta qué representa el $500$, no hay nada que calcular. Es el valor del principio.

$b$ es el factor de crecimiento — por cuánto multiplica un paso. Si $b > 1$ la cantidad crece; si $b$ está entre $0$ y $1$ decae, encogiéndose en la misma proporción en cada paso. Y el exponente se pega solo a $b$: $a \cdot b^x$ no es $(a \cdot b)^x$. La cantidad inicial multiplica a la potencia al final, nunca se mete dentro de ella.

El porcentaje disfrazado

Aquí es donde el examen esconde este tema, y donde F5 ya te dio la respuesta hecha. Ahí aprendiste que subir algo un $p\%$ es multiplicar por $1 + \tfrac{p}{100}$ — un solo multiplicador. Ese multiplicador es $b$.

Entonces “crece un 8% al año” es $b = 1.08$, y “baja un 15% al año” es $b = 1 - 0.15 = 0.85$. Una población de $500$ que crece al 8% anual es $f(x) = 500(1.08)^x$, y esa es toda la traducción.

Mirar la curva

Los números de una tabla son una vista; la forma es otra. En Dial de crecimiento las dos letras son dos puntos que puedes arrastrar: el punto de inicio fija $a$, y el punto de un paso fija a qué altura cae el primer paso — lo que fija $b$, porque $b$ no es más que esa altura dividida entre el inicio.

Predice antes de arrastrar: pon el inicio en $4$ y el punto de un paso en $6$. ¿Qué porcentaje es eso por paso? Ahora arrastra el punto de un paso por debajo del de inicio y mira cómo la lectura pasa de crecimiento a decaimiento. Por último, sigue hacia la derecha una curva que decae — se sigue partiendo a la mitad, o sigue perdiendo un quinto, y nunca aterriza en cero. Multiplicar por un número positivo puede encoger algo para siempre sin terminar nunca el trabajo.

Por eso una gráfica exponencial se aplana hacia el eje sin tocarlo, y por eso “se consume hasta desaparecer” nunca es del todo cierto.

Cuándo se puede resolver

Solo puedes resolver una ecuación exponencial de forma exacta cuando los dos lados se pueden escribir como potencias de la misma base — y entonces los exponentes tienen que coincidir:

La pregunta general — “¿cuántos años hasta llegar a $1000$?” — necesita logaritmos, que este curso todavía no cubre. En el examen esa pregunta se responde con una tabla o una gráfica, así que si las bases no se pueden igualar, busca el valor en vez de despejarlo.

Lo único que hay que recordar

Lineal suma, exponencial multiplica. En una tabla, resta para probar la primera y divide para probar la segunda — exactamente una columna se vuelve constante. En $a \cdot b^x$ la $a$ es dónde empezaste y la $b$ es lo que hace un paso, con $b = 1 \pm \tfrac{r}{100}$ convirtiendo cualquier porcentaje en ese multiplicador. Y cuando $b < 1$, acuérdate de que el factor es lo que sobrevivió, no lo que se perdió.

¿Qué modelo es?

Crecimiento o decaimiento: $b > 1$ crece; $0 < b < 1$ decae; $b = 1$ es plana.

De porcentaje a factor: sube $r\%$ → $b = 1 + \tfrac{r}{100}$; baja $r\%$ → $b = 1 - \tfrac{r}{100}$. Así $+8\% \to 1.08$, $-15\% \to 0.85$, duplicar $\to 2$, partir a la mitad $\to 0.5$.

De factor a porcentaje: $b = 1.2$ es $+20\%$; $b = 0.9$ es $-10\%$. Compara con $1$.

Puntos de referencia: $f(0) = a$ siempre (porque $b^0 = 1$). Un exponente negativo va hacia atrás: $b^{-2} = \tfrac{1}{b^2}$.

Resolver: solo igualando bases — $2^{x+1} = 8 \Rightarrow x + 1 = 3$. Cualquier otra cosa necesita logaritmos (todavía no en este curso, y el examen no los pide).