Funções quadráticas e parábolas

Uma quadrática é uma forma

Jogue uma bola. Trace o jato de uma fonte. Acompanhe um saltador da prancha até a água. Cada um desses caminhos é a mesma forma — uma parábola — e toda parábola é o desenho de uma quadrática. No M2 você aprendeu a lidar com $x^2 + 5x + 6$ como uma expressão para fatorar; no M3 aprendeu a resolvê-la quando ela vale zero. Este módulo dá um corpo a essa expressão: transforme-a numa função $f(x) = x^2 + 5x + 6$, marque cada entrada contra sua saída, e você tem uma curva que dá para ler.

A quadrática mais simples, $y = x^2$, é a parábola mãe: um U simétrico que apoia o fundo na origem. Toda outra parábola é esse mesmo U, movido e reescalado. O número da frente $a$ faz dois trabalhos de uma vez: o sinal decide para que lado o U abre — positivo é um sorriso (um ponto mais baixo), negativo é uma carranca (um ponto mais alto) — e o tamanho decide quão estreito. Um $|a|$ grande aperta o U; um pequeno deixa ele abrir bem largo. Esse único coeficiente é o motivo de uma quadrática decolar íngreme e outra abrir suave.

Três formas, três pares de óculos

Aqui está a ideia sobre a qual todo o módulo gira. Uma parábola pode ser escrita de três jeitos, e todos são a mesma curva — os mesmos pontos, o mesmo desenho. O que muda é qual marco cada uma te entrega de graça, como um número que você lê direto sem fazer conta. São três pares de óculos sobre uma só forma.

• A forma de vértice $a(x - h)^2 + k$ mostra o ponto de virada. O vértice — o pico ou o vale — fica em $(h, k)$, ali mesmo nas constantes.
• A forma fatorada $a(x - r_1)(x - r_2)$ mostra os cortes em x. O gráfico cruza o eixo em $r_1$ e $r_2$.
• A forma padrão $ax^2 + bx + c$ mostra o corte em y. Ponha $x = 0$ e cada termo com $x$ some, então a curva cruza o eixo y em $c$.

Digamos que um problema te dê a forma padrão e peça o vértice. Você converte para a forma que o mostra — completando o quadrado, a jogada do M2, agora com um $a$ para carregar:

A forma fatorada é o lado oposto. Se $f(x) = (x - 3)(x + 1)$, o gráfico cruza onde cada fator é zero: em $x = 3$ e $x = -1$. Repare que os dois sinais trocaram — o parêntese $(x - 3)$ zera em $+3$, não em $-3$. Essa troca de sinal é a mesma que o M3 avisou ao ler raízes da forma fatorada, e dá pontos toda vez.

Sinta as três de uma vez arrastando. No Estúdio de parábolas, mova o vértice e veja cada forma se reescrever, depois toque numa forma para acender o marco que pertence a ela.

Preveja antes de tocar: carregue só toca e depois toque “os cortes em x”. Quantos pontos de cruzamento acendem? Agora arraste o vértice um passo para baixo — os dois cruzamentos aparecem, e quanto marca agora $b^2 - 4ac$? Depois toque “o vértice” e arraste de lado: só os números da forma de vértice devem seguir sua mão limpinho, porque essa é a forma feita para rastreá-lo.

Onde a parábola encontra o eixo

O M3 te prometeu que aqui você veria o discriminante, e é isto. Os cortes em x são exatamente as soluções de $f(x) = 0$ — então quantas vezes uma parábola cruza o eixo x é quantas soluções reais a equação dela tem, o veredito $b^2 - 4ac$ que você já conhecia:

• $b^2 - 4ac > 0$: duas soluções reais, então a parábola cruza o eixo duas vezes.
• $b^2 - 4ac = 0$: uma solução, então a parábola só toca o eixo — o vértice pousa exatamente sobre ele.
• $b^2 - 4ac < 0$: sem solução real, então a parábola não alcança o eixo, flutuando por cima ou por baixo.

Levante $y = x^2$ somando a ele — $x^2$, depois $x^2 + 1$, depois $x^2 + 4$ — e você vê os dois cruzamentos deslizarem juntos, se encostarem, e decolarem do eixo. Os três casos que o M3 contou são três alturas da mesma curva. Veja acontecer na lousa:

Toda parábola é ainda simétrica de espelho em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice: o eixo de simetria, $x = -\tfrac{b}{2a}$. Essa fórmula é o caminho mais rápido para um vértice que você vai precisar — ache o eixo, e depois coloque esse $x$ de volta na função para o $y$. É também por isso que os dois cortes em x, quando existem, estão sempre a um passo igual de cada lado do vértice: o $\pm$ da fórmula do M3 os espalha por igual em volta de $-\tfrac{b}{2a}$, o mesmo ponto de equilíbrio que as gêmeas nunca deixaram no Laboratório do discriminante.

O outro caminho — construir uma parábola a partir de instruções — é onde a forma de vértice brilha de verdade. Leia $a(x - h)^2 + k$ como uma receita aplicada à mãe $y = x^2$: desloque $h$ para a direita, suba $k$, estique por $a$ (e vire se $a$ for negativo). Desliza e estica deixa você mover esses três controles e ver a mãe se mexer.

Preveja antes de deslizar: ponha $h$ em $+3$. O parêntese agora diz $x - 3$ — um menos — então para que lado a curva foi? (Para a direita — a armadilha de antes, agora sob seu dedo.) Depois empurre $a$ além do zero para os negativos e veja o sorriso virar carranca; deslize para $\tfrac12$ e veja o U abrir largo.

A única coisa para lembrar

Uma parábola é uma só forma que você pode escrever de três jeitos, e você escolhe a forma que já mostra o que pedem: forma de vértice para o pico ou o vale, fatorada para os cruzamentos, padrão para o começo em y. Quando você só precisa de quantas vezes ela cruza, não faça o gráfico — o discriminante $b^2 - 4ac$ te diz, igual no M3. E o eixo de simetria $x = -\tfrac{b}{2a}$ é sempre o atalho de volta ao vértice.

Escolha a forma que mostra o que você precisa

Abertura e largura: $a > 0$ abre para cima (um ponto mais baixo, um mínimo); $a < 0$ abre para baixo (um ponto mais alto, um máximo). Um $|a|$ maior é mais estreito, um menor mais largo.

Quantos cortes em x — o discriminante, sem fazer gráfico: $\;b^2 - 4ac > 0$ → dois (cruza). $\;= 0$ → um (toca no vértice). $\;< 0$ → nenhum (não alcança o eixo).

Complete o quadrado (a ≠ 1) para chegar à forma de vértice: coloque $a$ em evidência nos termos com $x$, some e subtraia $\left(\tfrac{b/a}{2}\right)^2$ dentro, e leve a sobra para fora multiplicada por $a$.