Funções exponenciais

Somar contra multiplicar

Duas pessoas te oferecem um trato pelos próximos doze dias. A primeira te dá $$50$ hoje e mais $$50$ todo dia. A segunda te dá um centavo hoje, e todo dia promete dobrar o que te deu ontem.

Na primeira semana o primeiro trato é claramente melhor — você já está com centenas enquanto a segunda pessoa ainda te passa trocado. Aí o dobrar alcança, e no décimo segundo dia não tem comparação. E o segundo trato nunca acelerou: a regra nunca mudou. Foi multiplicar por dois, todo santo dia, desde o começo.

É disso que este módulo inteiro trata. A5 te deu uma máquina que soma a mesma quantidade a cada passo — uma função linear, com uma taxa que dá para ler numa tabela. Esta aqui multiplica pela mesma quantidade a cada passo. F7 já te ensinou o que $b^x$ significa quando $x$ era um número dado; agora $x$ é a entrada, e o expoente conta os passos.

A tabela entrega o jogo

Esta é a habilidade que a prova pede sem parar, quase nunca avisando que tipo de função você está olhando. Te dão uma tabela e você tem que decidir.

O teste são duas colunas. Subtraia cada linha da seguinte: se essa diferença for sempre a mesma, alguma coisa está sendo somada de novo e de novo, e é linear. Se não, divida cada linha pela anterior. Se isso der sempre igual, alguma coisa está sendo multiplicada de novo e de novo, e é exponencial.

Antes de mexer nas colunas, olhe as duas ofertas no quadro — cinco dólares adiantados, ou um dólar que dobra — e escolha uma antes de o quarto dia cair.

As duas colunas ficam lado a lado em Tabela de razões, com uma etiqueta na que ficou constante.

Adivinhe antes de trocar: ponha a regra em soma com uma quantidade de $100$ e olhe a tabela — ela sobe de cem em cem, o que parece dramático. Qual coluna está com a etiqueta? Agora troque a regra para multiplica por e veja a etiqueta pular. Depois experimente Nomeie a tabela e decida a segunda antes de ler as colunas; é a armadilha logo abaixo, vestida de tabela.

O que cada letra faz

Toda função deste módulo tem a mesma forma de duas partes:

$a$ é a quantidade inicial — o valor antes de qualquer coisa acontecer. Isso cai direto da regra de F7 de que $b^0 = 1$: ponha $x = 0$ e a potência inteira desaba para um, deixando $f(0) = a$. Então quando uma questão te mostra $f(x) = 500(1.08)^x$ e pergunta o que o $500$ representa, não tem nada para calcular. É o valor do começo.

$b$ é o fator de crescimento — por quanto um passo multiplica. Se $b > 1$ a quantidade cresce; se $b$ está entre $0$ e $1$ ela decai, encolhendo na mesma proporção a cada passo. E o expoente gruda só no $b$: $a \cdot b^x$ não é $(a \cdot b)^x$. A quantidade inicial multiplica a potência no fim, nunca entra dentro dela.

A porcentagem disfarçada

É aqui que a prova esconde este assunto, e é aqui que F5 já te entregou a resposta pronta. Lá você aprendeu que aumentar algo em $p\%$ é multiplicar por $1 + \tfrac{p}{100}$ — um multiplicador só. Esse multiplicador é o $b$.

Então “cresce 8% ao ano” é $b = 1.08$, e “cai 15% ao ano” é $b = 1 - 0.15 = 0.85$. Uma população de $500$ crescendo 8% ao ano é $f(x) = 500(1.08)^x$, e essa é a tradução inteira.

Olhando a curva

Números numa tabela são uma vista; o formato é outra. No Dial de crescimento as duas letras são dois pontos que dá para arrastar: o ponto de início define $a$, e o ponto de um passo define a que altura o primeiro passo cai — o que fixa $b$, já que $b$ é só essa altura dividida pelo início.

Adivinhe antes de arrastar: ponha o início em $4$ e o ponto de um passo em $6$. Que porcentagem é essa por passo? Agora arraste o ponto de um passo para baixo do de início e veja a leitura virar de crescimento para decaimento. Por último, siga para a direita uma curva que decai — ela continua caindo pela metade, ou continua perdendo um quinto, e nunca pousa no zero. Multiplicar por um número positivo pode encolher uma coisa para sempre sem nunca terminar o serviço.

É por isso que um gráfico exponencial se achata em direção ao eixo sem encostar nele, e por isso “some até acabar” nunca é bem verdade.

Quando dá para resolver

Você só consegue resolver uma equação exponencial de forma exata quando os dois lados podem ser escritos como potências da mesma base — e aí os expoentes têm que bater:

A pergunta geral — “quantos anos até chegar a $1000$?” — precisa de logaritmos, que este curso ainda não cobre. Na prova essa pergunta é respondida por uma tabela ou por um gráfico, então se as bases não batem, procure o valor em vez de isolar.

A única coisa para guardar

Linear soma, exponencial multiplica. Numa tabela, subtraia para testar a primeira e divida para testar a segunda — exatamente uma coluna fica constante. Em $a \cdot b^x$ o $a$ é onde você começou e o $b$ é o que um passo faz, com $b = 1 \pm \tfrac{r}{100}$ transformando qualquer porcentagem nesse multiplicador. E quando $b < 1$, lembre que o fator é o que sobreviveu, não o que foi perdido.

Qual modelo é?

Crescimento ou decaimento: $b > 1$ cresce; $0 < b < 1$ decai; $b = 1$ é plana.

De porcentagem para fator: sobe $r\%$ → $b = 1 + \tfrac{r}{100}$; cai $r\%$ → $b = 1 - \tfrac{r}{100}$. Assim $+8\% \to 1.08$, $-15\% \to 0.85$, dobrar $\to 2$, cair pela metade $\to 0.5$.

De fator para porcentagem: $b = 1.2$ é $+20\%$; $b = 0.9$ é $-10\%$. Compare com $1$.

Pontos de referência: $f(0) = a$ sempre (porque $b^0 = 1$). Um expoente negativo vai para trás: $b^{-2} = \tfrac{1}{b^2}$.

Resolver: só igualando as bases — $2^{x+1} = 8 \Rightarrow x + 1 = 3$. Qualquer outra coisa precisa de logaritmos (ainda não neste curso, e a prova não pede).