Sistemas não lineares e transformações

Dois gráficos, um plano

Coloque uma parábola e uma reta na mesma grade e uma pergunta se escreve sozinha: elas se encontram? Uma solução de um sistema é um ponto que torna as duas equações verdadeiras ao mesmo tempo — o que, num gráfico, significa um ponto que está nas duas curvas (a ideia de A6, agora com uma curva no meio). Eliminação aqui não serve — não dá para cancelar um $x^2$ contra um $x$ — mas nada impede você de notar que, num ponto compartilhado, as duas receitas para $y$ têm que produzir o mesmo número:

Confira qualquer um dos pontos contra a parábola e ela concorda — é isso que “nos dois gráficos” significa. Uma substituição, e toda pergunta de reta-contra-curva do SAT se abre do mesmo jeito.

Um único número conta os cruzamentos

Aqui o discriminante de M3 ganha uma segunda vida. A equação $x^2 - 6x + 8 = 0$ tinha $D = b^2 - 4ac = 36 - 32 = 4$ — positivo, duas soluções, dois cruzamentos. Mas nada obrigava a reta a cruzar duas vezes. Deslize-a para baixo e os dois pontos compartilhados escorregam um na direção do outro; em exatamente uma altura eles se fundem num único toque; mais abaixo, contato nenhum. Algebricamente isso é só $D$ passando pelo zero: $D > 0$ se cruzam, $D = 0$ tangenciam, $D < 0$ não se tocam. O discriminante para de contar raízes e começa a contar interseções.

Ele abre no sistema acima, cruzamentos em $(2, 1)$ e $(4, 5)$. Os dois pontos verdes têm uma única altura onde se encontram — preveja o $k$ dela antes de arrastar, depois desça o ponto k um passo de cada vez e veja $D$ encolher: $4$, depois $0$ — o toque, em $(3, 2)$ — e depois negativo, e os pontos se foram. Teste também abre para baixo: com a parábola pendurada, é arrastar a reta para cima que a faz errar.

O k que o SAT pede

“Para que valor de $k$ a reta $y = 2x + k$ intersecta $y = x^2 - 4x + 5$ em exatamente um ponto?” — a fantasia favorita do exame para tudo isso. Rode a mesma substituição com $k$ deixado como letra: $x^2 - 6x + (5 - k) = 0$. Exatamente uma interseção significa exatamente uma solução, e isso é uma condição sobre o discriminante: $(-6)^2 - 4(1)(5 - k) = 0$, então $36 - 20 + 4k = 0$, então $16 + 4k = 0$ e $k = -4$ — precisamente a altura onde o seu arrasto encontrou o toque.

E duas curvas? Coloque $y = x^2 - 2x + 3$ contra $y = x^2 + 4x - 9$: as receitas iguais, $x^2 - 2x + 3 = x^2 + 4x - 9$ — e os dois lados carregam o mesmo $x^2$, então subtrair apaga os quadrados por completo: $-6x + 12 = 0$, $x = 2$, e qualquer uma das curvas dá a altura $y = 3$. O sistema de aparência assustadora era secretamente linear.

Qualquer gráfico, quatro movimentos

A segunda metade desta unidade é uma gramática — quatro pequenas edições na fórmula de uma função, cada uma com um significado geométrico fixo. Você já a viu uma vez numa fantasia especial: a forma de vértice deslizando uma parábola (a história de M4). A virada do SAT é que a gramática funciona sobre qualquer gráfico, inclusive os que chegam sem fórmula nenhuma. Suponha que você só sabe que $(2, 5)$ está no gráfico de $f$, e $g(x) = f(x - 1) + 3$. Que ponto tem que estar em $g$?

Os quatro movimentos, então: $f(x) + k$ desliza o gráfico $k$ para cima; $a \cdot f(x)$ estica cada altura por $a$; $-f(x)$ o vira sobre o eixo x — os três agem sobre a saída, então fazem exatamente o que dizem. Só $f(x - h)$ é traiçoeiro: ele age sobre a entrada, e mudanças de entrada correm ao contrário — menos dentro significa direita.

Ele abre com a cópia deitada sobre o fantasma tracejado e o letreiro em $g(x) = f(x)$. Antes de arrastar: leve o ponto $3$ para a direita — o que os parênteses vão dizer, mais ou menos? Confira, depois arraste $2$ para cima e veja o $+2$ cair fora. Agora zere e toque − refletir: o ponto cinza marcado de $f$ é $(3, -2)$ — preveja onde o ponto verde tem que aterrissar antes de olhar. Refletir mais ×2 o manda para $(3, 4)$; a linha do mapeamento faz a aritmética com você.

A única coisa para lembrar

Um ponto compartilhado torna as duas equações verdadeiras, então iguale as duas receitas para $y$ — uma substituição transforma qualquer sistema reta–curva numa única quadrática, cujo discriminante conta os cruzamentos antes de resolver: não se tocam, tangenciam, se cruzam. E qualquer gráfico, com fórmula ou sem, se move com quatro pequenas edições: fora dos parênteses é honesto com o $y$, dentro é ao contrário com o $x$.

Reta contra curva

Resolver o sistema: iguale as duas expressões para $y$ → passe tudo para um lado → resolva a quadrática → tire cada $y$ da reta. Responda com o ponto ou os pontos — o SAT costuma pedir uma coordenada.

“Para que $k$ … exatamente um ponto?”: deixe $k$ como letra, iguale a $0$ o discriminante de um lado só e isole $k$. É exatamente a mesma condição de “exatamente uma solução”.

Duas parábolas com o mesmo coeficiente de $x^2$: igualá-las cancela os quadrados — o sistema é linear. Resolva a equação de um passo; a altura vem de qualquer uma das curvas.

Os quatro movimentos

Regra do ponto: $(x, y)$ em $f$ $\Rightarrow$ $(x + h,\; a\,y + k)$ em $g$. Inverta para levar um ponto de $g$ de volta a $f$: $(x - h,\; (y - k)/a)$.