Expressões polinomiais e racionais

A operação que ainda faltava aos polinômios

Divida $17$ por $5$ e sai $3$ com $2$ de sobra. Antes de seguir, repare no que essa frase realmente afirma: $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Divisão com resto é um fato sobre a multiplicação — o divisor vezes o quociente, mais uma sobra pequena demais para continuar dividindo. Somar, subtrair e multiplicar polinômios você já sabe (é isso que torna sua uma expressão como $6x^2 + 5x - 4$ — o jogo inteiro de M1). A divisão é a engrenagem que faltava, e funciona exatamente como o $17$ e o $5$:

Escrito de volta como multiplicação, igualzinho aos números:

Essa segunda forma merece um olhar demorado, porque o SAT adora: “qual das alternativas é equivalente a $\frac{6x^2+5x-4}{2x+3}$?” é esta divisão fantasiada. A fração da sobra sobre o divisor é a pista.

O atalho escondido na identidade

Agora divida por algo mais simples — um $x - a$ mônico — e olhe a identidade com olho de detetive:

O resto $r$ é uma constante (tem que ter grau menor que $x - a$). E essa equação vale para todo $x$ — inclusive $x = a$. Coloque-a ali e veja a primeira peça morrer: $(a - a)\,q(a) = 0$, sobrando $p(a) = r$. Leia de novo: o resto é simplesmente o valor do polinômio em $a$. Sem dividir nada. Tome $p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ dividido por $x - 2$:

$p(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$

Uma substituição, e você já conhece a sobra de uma divisão longa inteira: resto $-4$. Esse é o teorema do resto, e no SAT ele é uma arma de velocidade — a pergunta diz “é dividido por”, a resolução é uma substituição.

O Dial do resto torna o teorema físico: o resto é uma altura.

O dial abre exatamente na divisão acima — a cúbica, dividida em $a = 2$, barra em $-4$. Preveja antes de arrastar: a curva parece cruzar o eixo perto de $x = 3$. Se cruza mesmo, quanto tem que dar o resto de dividir por $x - 3$? Arraste o ponto até lá e olhe a barra. Depois cace os outros dois cruzamentos ($x = 1$ e $x = -2$), e por fim carregue nunca zera: aquela curva se recusa a tocar o eixo, então nenhum $a$ inteiro mata o resto — $p$ não tem nenhum fator da forma $x - a$.

Um resto zero é um certificado

O que você acabou de sentir tem nome. Se $p(a) = 0$, o resto de dividir por $x - a$ é zero — a divisão sai exata, então $x - a$ é um fator de $p(x)$, e o gráfico cruza o eixo em $a$. Três afirmações, um fato só. A fantasia favorita do SAT é uma tabela:

“Qual das alternativas tem que ser um fator de $p$?” A tabela sussurra: $p(1) = 0$, então $x - 1$ divide exato. Atenção ao sinal — um zero em $x = -4$ certifica o fator $x - (-4) = x + 4$. Mais dentro, para um zero do lado negativo.

Frações feitas de polinômios

Números se reduzem por fatores compartilhados: $\dfrac{6}{8}$ é $\dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$, os $2$ cancelam, fica $\dfrac{3}{4}$. Uma expressão racional é uma fração cujo em cima e embaixo são polinômios, e ela joga pela mesma regra — mais uma lei extra de que os números nunca precisaram. Eis a fantasia habitual do SAT:

Os pontos que continuam proibidos — muros e furinhos

Os dois valores proibidos são indefinidos, mas falham de dois jeitos bem diferentes, e o SAT pergunta pela diferença. Em $x = 2$ o baixo reduzido $x - 2$ ainda morre: logo ao lado de $2$, o de cima fica perto de $-1$ enquanto o de baixo é minúsculo — e um número diferente de zero dividido por um minúsculo é enorme. O gráfico dispara por uma assíntota vertical: um muro que ele escala para sempre e nunca toca. Em $x = -2$ o fator culpado cancelou — por perto, a expressão se comporta exatamente como $\frac{x-3}{x-2}$, aproximando-se calmamente de $\frac{-5}{-4} = \frac{5}{4}$. O gráfico é uma curva lisa com um único ponto faltando: um buraco. Cancelar removeu o muro. Não removeu a proibição.

Ele abre na fração exata acima. Preveja antes de tocar: qual $x$ proibido tem o muro tracejado, e qual o círculo aberto? Agora desligue o $(x+2)$ da fileira de cima — o $(x+2)$ de baixo acabou de perder seu par de cancelamento, então o que tem que substituir o furinho em $x = -2$? Confira, ligue-o de volta e arraste a sonda de $x = 1$ rumo ao muro em $2$ lendo os valores: a tira continua dividindo sua distância ao meio, e os valores quase dobram a cada vez — sem teto. Estacione a sonda perto do furinho e a mesma tira se assenta tranquila rumo a $\frac{5}{4}$. Disparar contra assentar: suas mãos já conhecem a diferença que o vocabulário está nomeando.

A única coisa para lembrar

A divisão deixa uma impressão digital: $p(x) = (x-a)\,q(x) + r$, e fazer $x = a$ lê a impressão sem dividir — $r = p(a)$, e $r = 0$ certifica um fator. Frações de polinômios se reduzem como frações de números — só por fatores completos — e os zeros do denominador ficam proibidos antes de o cancelamento começar: um fator que sobrevive embaixo é um muro, um cancelado deixa um furinho.

A divisão e seus dois teoremas

Divisão longa: divida os termos líderes → multiplique de volta → subtraia → repita. A forma “expressão equivalente” do SAT: $\dfrac{p}{d} = q + \dfrac{r}{d}$.

Confira o sinal: um zero em $x = -4$ dá o fator $x + 4$. Zero negativo, sinal de dentro positivo.

Expressões racionais

Simplificar: fatore em cima e embaixo → anote cada $x$ que zera o de baixo → cancele fatores compartilhados completos → mantenha as proibições.

Indefinida: exatamente onde o denominador é $0$ — inclusive fatores que cancelam.

Num buraco, o valor ausente é a expressão reduzida avaliada ali.