Radicais e expoentes racionais

Uma fração no expoente

Uma população dobra a cada três anos. Útil — até você querer saber o que ela faz em um ano. Seja qual for o multiplicador anual, aplicá-lo três vezes tem que dar $2$, então ele é o número com $x \cdot x \cdot x = 2$. Isso é uma raiz cúbica, $\sqrt[3]{2}$ — mas a pergunta era sobre um expoente, uma taxa “por ano”. A resposta honesta pede para ser escrita $2^{1/3}$: um expoente que é uma fração.

Este módulo é sobre o que essa notação significa, por que ela só pode significar uma coisa, e o que acontece quando um $x$ fica preso debaixo de uma raiz e é preciso soltá-lo.

O significado é forçado, não escolhido

De F7 você sabe o que é um expoente inteiro — multiplicação repetida — e conhece a regra do produto: multiplicar potências da mesma base soma os expoentes, porque as cópias simplesmente se empilham.

Agora suponha que $9^{1/2}$ signifique qualquer coisa. Se a regra do produto vai continuar valendo, então

Então $9^{1/2}$, seja lá o que for, é um número que multiplicado por si mesmo dá $9$. Existe exatamente um número não negativo que faz isso: a raiz quadrada, $3$. Ninguém decidiu que um expoente $\tfrac12$ fosse uma raiz quadrada — as regras antigas não deixam outra opção. O mesmo argumento faz de $x^{1/3}$ uma raiz cúbica (três cópias precisam reconstruir $x$), e em geral:

O de baixo da fração nomeia a raiz; o de cima é uma potência comum. As duas leituras são iguais — mas tirar a raiz primeiro mantém os números pequenos:

Tente ao contrário — primeiro $27^2 = 729$, depois a raiz cúbica de $729$ — e você chega ao mesmo $9$ com uma aritmética bem pior. A raiz primeiro é o truque inteiro.

Atravesse a ponte

Ponte de expoentes coloca a fração sob os seus dedos: o de cima e o de baixo do expoente são controles separados, e a forma radical se remonta enquanto você os move.

Preveja antes de apertar: com base $64$, deixe o de baixo em $1$ — sem raiz, potências comuns. Agora suba para $2$, depois $3$: preveja $64^{1/2}$ e $64^{1/3}$ antes de o valor aparecer. Depois coloque a base em $27$ com o de baixo em $2$ — o valor some, porque $\sqrt{27}$ é irracional, e a forma radical na tela é a resposta exata. Por fim coloque em cima $2$, embaixo $4$ e veja a nota: o expoente se reduz como qualquer fração, $x^{2/4} = x^{1/2}$.

As regras antigas nem piscam

Cada regra do F7 sobrevive com frações dentro, porque nenhum dos argumentos de contar cópias se importava se a contagem era inteira:

E o sinal de menos mantém o velho emprego: $8^{-2/3}$ é $\dfrac{1}{8^{2/3}} = \dfrac{1}{4}$. O menos inverte, a fração tira raiz — dois trabalhos separados, e nenhum dos dois torna a resposta negativa.

Soltar o x de uma raiz

Agora ao contrário. Em vez de avaliar raízes, você recebe uma equação com o $x$ preso dentro de uma:

Existe um movimento que o liberta — elevar os dois lados ao quadrado — e esse movimento tem uma armadilha que vale um ponto do SAT quase toda vez que aparece.

Elevar ao quadrado é uma porta de mão única

A armadilha em uma linha: $3^2 = 9$, mas $(-3)^2 = 9$ também. O quadrado apaga os sinais — dois números diferentes viram um só. Então, ao elevar uma equação ao quadrado, a nova equação é verdadeira em todos os casos em que a antiga era… e talvez em alguns que a antiga nunca permitiu. A equação ao quadrado pode ter mais soluções do que a que você realmente perguntou. Essas intrusas se chamam soluções estranhas, e encontrá-las não é limpeza opcional — a verificação é a segunda metade do método.

De onde veio $x = 1$? É a solução honesta de uma equação diferente — $\sqrt{x+3} = -(x-3)$ — cujo quadrado é idêntico. O quadrado fundiu as duas equações, e a verificação é o jeito de separá-las.

Fatorar a quadrática é habilidade do M3; se $(x-1)(x-6)$ não saiu no automático, aquele módulo a reconstrói.

Veja o fantasma

Resolver $\sqrt{x+3} = x-3$ também é geometria: a pergunta é onde uma reta cruza a curva $y = \sqrt{x+3}$. Uma raiz quadrada nunca é negativa, então essa curva é só a metade de cima de uma parábola. Mas a equação ao quadrado pertence à parábola inteira — metade de baixo incluída. Ramo fantasma desenha essa metade de baixo como um fantasma tracejado, e a equação acima é o seu estado inicial.

Olhe antes de arrastar: a reta cruza a curva sólida em $x = 6$ e o fantasma em $x = 1$ — os mesmos dois candidatos do exemplo resolvido, separados em real e falso só pelo desenho. Agora arraste o ponto da reta para cima passo a passo e observe as etiquetas: os cruzamentos se movem, e em algum momento a reta para de tocar a parábola — o caso sem solução. Depois aperte ambos reais: os dois cruzamentos caem sobre a curva sólida, e desta vez o quadrado não inventa nada. A verificação existe porque a álgebra não consegue ver qual metade é a real.

Mais um caso merece a própria linha. Uma equação como $\sqrt{x+4} = -3$ não tem solução antes de você fazer qualquer coisa: uma raiz quadrada não pode dar um número negativo. Eleve ao quadrado mesmo assim e a maquinaria te entrega alegremente $x = 5$ — que a verificação executa: $\sqrt{9} = 3 \ne -3$. Quando todos os candidatos morrem, a resposta é sem solução, e essa é uma alternativa real do SAT, não um fracasso.

A única coisa para lembrar

O de baixo de um expoente fracionário é uma raiz, o de cima é uma potência, e todas as regras de expoentes que você já conhece continuam valendo com frações dentro. Quando um $x$ está preso sob um radical: isole, eleve ao quadrado uma vez, resolva — e depois verifique cada candidato na equação original, porque o quadrado é uma porta de mão única por onde uma resposta falsa pode entrar. A verificação não é paranoia; é metade do método.

A conversão

Embaixo = raiz, em cima = potência. Avalie raiz-primeiro: $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.

As seis regras do F7 sobrevivem com expoentes fracionários — o produto soma ($x^{1/2} \cdot x^{1/3} = x^{5/6}$), o quociente subtrai, a potência de potência multiplica ($\left(x^{2/3}\right)^{3} = x^{2}$).

O expoente se reduz como qualquer fração: $x^{2/4} = x^{1/2}$.

Equações radicais, o método

Um candidato que falha na verificação é estranho: ele resolve a equação ao quadrado, não a sua. Se todos os candidatos falham, a resposta é sem solução — e $\sqrt{\text{algo}} = \text{negativo}$ não tem solução antes mesmo de elevar qualquer coisa ao quadrado.